Question

（不等式選講選做題）對于任意實數(shù)a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|(|x-

1

2

|+|x-

3

2

|)恒成立，試求實數(shù)x的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由題意可得|x-

1

2

|+|x-

3

2

|小于或等于

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值，故所求x的范圍即為不等式|x-

1

2

|+|x-

3

2

|
≤2的解集．再根據(jù)數(shù)軸上0和2對應(yīng)點到

1

2

和

3

2

對應(yīng)點的距離之和等于2，可得實數(shù)x的取值范圍．

解答：解：由題意可得|x-

1

2

|+|x-

3

2

|≤

|a+b|+|a-b|

|a|

 恒成立，
故|x-

1

2

|+|x-

3

2

|小于或等于

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值，
而

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值等于2，故所求x的范圍即為不等式|x-

1

2

|+|x-

3

2

|≤2的解集．
由于|x-

1

2

|+|x-

3

2

|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點到

1

2

和

3

2

對應(yīng)點的距離之和，
又由于數(shù)軸上0和2對應(yīng)點到

1

2

和

3

2

對應(yīng)點的距離之和等于2，
故不等式|x-

1

2

|+|x-

3

2

|≤2的解集為[0，2]，
故答案為[0，2]．

點評：本題考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，判斷于|x-

1

2

|+|x-

3

2

|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點到

1

2

和

3

2

對應(yīng)點的
距離之和，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．