定義y=log1+xf(x,y),f(x,y)=(1+x)y(x>0,y>0)
(1)比較f(1,3)與f(2,2)的大。
(2)若e<x<y,證明:f(x-1,y)>f(y-1,x);
(3)設g(x)=f(1,log2(x3+ax2+bx+1))的圖象為曲線C,曲線C在x處的切線斜率為k,若x∈(1,1-a),且存在實數(shù)b,使得k=-4,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】
分析:(1)、由定義知f(x,y)=(1+x)
y(x>0,y>0),分別求出f(1,3)與f(2,2)的值后再進行比較.
(2)、要證f(x-1,y)>f(y-1,x),只要證x
y>y
x即可.
(3)、由題意知:g(x)=x
3+ax
2+bx+1,且g'(x
)=k,于是有3x
2+2ax
+b=-4在x
∈(1,1-a)上有解.又由定義知log
2(x
3+ax
2+bx
+1)>0即x
3+ax
2+bx
>0.然后再分類討論,求出實數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(1)由定義知f(x,y)=(1+x)
y(x>0,y>0)
∴f(1,3)=(1+1)
3=8,f(2,2)
2=9∴f(1,3)<f(2,2).
(2)f(x-1,y)=x
y,f(y-1,x)=y
x要證f(x-1,y)>f(y-1,x),只要證x
y>y
x∵
令
,則
,當x>e時,h'(x)<0
∴h(x)在(e,+∞)上單調(diào)遞減.
∵e<x<y∴h(x)>h(y)即
∴不等式f(x-1,y)>f(y-1,x)成立.
(3)由題意知:g(x)=x
3+ax
2+bx+1,且g'(x
)=k
于是有3x
2+2ax
+b=-4在x
∈(1,1-a)上有解.
又由定義知log
2(x
3+ax
2+bx
+1)>0即x
3+ax
2+bx
>0
∵x
>1∴x
2+ax
>-b
∴x
2+ax
>3x
2+2ax
+4即ax
<-2(x
2+2)
∴
在x
∈(1,1-a)有解.
設
①當
即
時,
≥
.
當且僅當
時,
∴當
時,
∴
.
②當1<1-a≤
時,即
≤a<0時,
在x
∈(1,1-a)上遞減,
∴
.∴
整理得:a
2-3a+6<0,無解.
綜上所述,實數(shù)a的取值范圍為
.
點評:本題是對數(shù)函數(shù)的綜合題,在解題過程中除正確運用對數(shù)的圖象和性質(zhì),還要充分考慮函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)的幾何意義.