如圖,在四棱錐中,底面是正方形,側(cè)面底面,,分別為,中點,
(Ⅰ)求證:∥平面
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在棱上是否存在一點,使平面?若存在,指出點的位置;若不存在,說明理由.
(Ⅰ)詳見解析,(Ⅱ)(Ⅲ)不存在.

試題分析:(Ⅰ)證明線面平行,關(guān)鍵在于找出線線平行.本題條件含中點,故從中位線上找線線平行. ,分別為,中點,在△中,中點,中點,所以.又因為平面平面,所以∥平面.(Ⅱ)求二面角的大小,有兩個思路,一是作出二面角的平面角,這要用到三垂線定理及其逆定理,利用側(cè)面底面,可得底面的垂線,再作DF的垂線,就可得二面角的平面角,二是利用空間向量求出大小.首先建立空間坐標(biāo)系. 取中點.由側(cè)面底面易得.以為原點,分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.再利用兩平面法向量的夾角與二面角的平面角的關(guān)系,求出結(jié)果,(Ⅲ)存在性問題,一般從假設(shè)存在出發(fā),構(gòu)造等量關(guān)系,將存在是否轉(zhuǎn)化為方程是否有解.

證明:(Ⅰ)如圖,連結(jié)
因為底面是正方形,
所以互相平分.
又因為中點,
所以中點.
在△中,中點,中點,
所以
又因為平面,平面,
所以∥平面.                                        4分
(Ⅱ)取中點.在△中,因為,
所以
因為面底面
且面,
所以
因為平面
所以
又因為中點,
所以

如圖,以為原點,分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.
因為,所以,則,,,,,,
于是,,
因為,所以是平面的一個法向量.
設(shè)平面的一個法向量是
因為所以

所以
由圖可知,二面角為銳角,所以二面角的余弦值為. 10分
(Ⅲ)假設(shè)在棱上存在一點,使.設(shè),
. 由(Ⅱ)可知平面的一個法向量是
因為,所以
于是,,即
又因為點在棱上,所以共線.
因為,,
所以
所以,無解.
故在棱上不存在一點,使成立.               14分
練習(xí)冊系列答案
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如圖,在四棱錐中,底面是正方形,側(cè)棱⊥底面 ,,的中點,作于點
(1)求證:平面
(2)求二面角的正弦值.

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(2013•浙江)如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G為線段PC上的點.
(Ⅰ)證明:BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)若G是PC的中點,求DG與PAC所成的角的正切值;
(Ⅲ)若G滿足PC⊥面BGD,求的值.

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中點,上一點,且.
(1)當(dāng)時,求證:平面;
(2)若直線與平面所成的角為,求的值.

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現(xiàn)以為一邊向梯形外作正方形,然后沿邊將正方形翻折,使平面與平面垂直,的中點,如圖2.

(1)求證:∥平面;
(2)求證:;
(3)求點到平面的距離.

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A.B.C.D.1

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A.內(nèi)的所有直線都與直線異面B.內(nèi)不存在與平行的直線
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