Question

【題目】已知拋物線C頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線C上一點(diǎn)Q（a，2）到焦點(diǎn)的距離為3，線段AB的兩端點(diǎn)A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）在拋物線C上．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若y軸上存在一點(diǎn)M（0，m）（m＞0），使線段AB經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求m的值；
（3）在拋物線C上存在點(diǎn)D（x3 ， y3），滿足x3＜x1＜x2 ， 若△ABD是以角A為直角的等腰直角三角形，求△ABD面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)拋物線的C方程x2=2py（p＞0），則焦點(diǎn)F（0， ），準(zhǔn)線方程：y=﹣ ，

過點(diǎn)Q向準(zhǔn)線l作垂線，垂足為Q1，

由拋物線的定義可得：丨QF丨=丨QQ1丨，

∴2﹣（﹣ ）=3，p=2，

∴拋物線方程：x2=4y

（2）解：設(shè)直線AB的方程：y=kx+m，則 ，整理得：x2﹣4kx﹣4m=0，

則x1+x2=4k，x1x2=﹣4m，

由AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，則 ⊥ ， =0，

則x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0

∴（1+k2）×（﹣4m）+km×4k+m2=0，整理得m2﹣4m=0，解得：m=4或m=0，

由m＞0，則m=4，

∴m的值4

（3）解：設(shè)直線AB的斜率為k，k＞0，其方程y﹣y1=k（x﹣x1），即y=kx+y1﹣kx1，

∴ ，整理得：x2﹣4kx+4kx1﹣4y1=0，

∴x1+x2=4k，x2=﹣x1+4k，

丨AB丨2=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]，

=（1+k2）[（4k）2﹣4x1（﹣x1+4k）]，

=4（1+k2）（x12﹣4kx1+4k2），

同理丨AD丨=4[1+（﹣ ）2][x12﹣4（﹣ ）x1+4（﹣ ）2]，

=4（1+ ）（x12+ x1+ ），

由丨AB丨=丨AD丨，則丨AB丨2=丨AD丨2，4（1+k2）（x12﹣4kx1+4k2），=4（1+ ）（x12+ x1+ ），

整理得：x1= =k﹣ ，

則丨AB丨2=4（1+k2）[（k﹣ ）2﹣4k（k﹣ ）+4k2]=4（1+k2）（k+ ）2，丨AB丨=2 （k+ ），

丨AD丨2=4（1+ ）[（k﹣ ）2+ （k﹣ ）+ ]4（1+ ）（k+ ）2，丨AD丨=2 （k+ ），

∴△ABD面積S= ×丨AB丨×丨AD丨= ×2 （k+ ）×2 （k+ ），

= =2（k+ ）3≥2（2 ）3=16，

當(dāng)且僅當(dāng)k= 時(shí)，即k2=1，即k=1，取等號，

∴△ABD面積的最小值16

【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義，丨QF丨=丨QQ1丨，即可求得p的值，即可求得拋物線方程；（2）設(shè)AB的方程，代入橢圓方程，由 =0，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及韋達(dá)定理，即可求得m的值；（3）由直線的點(diǎn)斜式方程，求得直線AB的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，即可求得x2=﹣x1+4k，根據(jù)弦長公式，由丨AB丨=丨AD丨，即可求得x1=k﹣ ，根據(jù)三角形的面積公式及基本不等式的性質(zhì)，即可求得△ABD面積的最小值．