Question

（本小題滿分14分）

已知二次函數(shù)滿足以下兩個條件：

①不等式的解集是（-2，0）   ②函數(shù)在上的最小值是3 

（Ⅰ）求的解析式；

 （Ⅱ）若點在函數(shù)的圖象上，且

（�。┣笞C：數(shù)列為等比數(shù)列

（ⅱ）令，是否存在正實數(shù)，使不等式對于一切的恒成立？若存在，指出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）f（x）= x ² + 2 x  .

（Ⅱ）（ⅰ）見解析；（ⅱ） 

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因為根據(jù)題意可知f（x）< 0 的解集為（-2，0），且f（x）是二次函數(shù)

因此可設(shè)  f（x）= a x（x + 2） （a > 0），故 f（x）的對稱軸為直線 ，

f（x）在 [1，2]上的最小值為f（1）=3a =3 ，得到參數(shù)a的值。

（Ⅱ）（�。┮驗辄c（a _n , a _{n + 1} ）在函數(shù)f（x）= x ² + 2 x 的圖象上

∴得到遞推關(guān)系式 a _{n + 1}  = a _n ² + 2 a _n  ,  構(gòu)造等比數(shù)列求解通項公式。

（ⅱ）由上題可知，要使得不等式恒成立，即對于一切的恒成立，轉(zhuǎn)換為二次不等式求解。

解：（Ⅰ）∵ f（x）< 0 的解集為（-2，0），且f（x）是二次函數(shù)

       ∴ 可設(shè)  f（x）= a x（x + 2） （a > 0），故 f（x）的對稱軸為直線 ，

       ∴  f（x）在 [1，2]上的最小值為f（1）=3a =3 ，

       ∴ a = 1 ，所以f（x）= x ² + 2 x  .

（Ⅱ）（ⅰ）∵ 點（a _n , a _{n + 1} ）在函數(shù)f（x）= x ² + 2 x 的圖象上，

∴ a _{n + 1}  = a _n ² + 2 a _n  ,則 1 + a _{n + 1}  = 1 + a _n ² + 2 a _n = （1 + a _n）² 

           ∴ , 又首項

           ∴ 數(shù)列 為等比數(shù)列，且公比為2 。

（ⅱ）由上題可知，要使得不等式恒成立，即對于一切的恒成立，

法一：對一切的恒成立，

令，

∵在是單調(diào)遞增的，∴的最小值為

＝      所以 

法二：

設(shè)

當(dāng)時，由于對稱軸直線，且 ，而函數(shù)在 是增函數(shù)，∴不等式恒成立

即當(dāng)時，不等式對于一切的恒成立

考點：本試題主要考查了數(shù)列、不等式知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．

點評：解題時要注意對于不等式恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化為一元二次不等式問題。