Question

（本小題滿(mǎn)分14分）
已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，為上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交于另一點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，且有.當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，為正三角形.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直線(xiàn)，且和有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
（ⅰ）證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（I）.（II）（�。┲本�(xiàn)AE過(guò)定點(diǎn).（ⅱ）的面積的最小值為16.

解析試題分析：（I）由拋物線(xiàn)的定義知，
解得或（舍去）.得.拋物線(xiàn)C的方程為.
（II）（�。┯桑↖）知，
設(shè)，
可得，即，直線(xiàn)AB的斜率為，
根據(jù)直線(xiàn)和直線(xiàn)AB平行，可設(shè)直線(xiàn)的方程為，
代入拋物線(xiàn)方程得，
整理可得，
直線(xiàn)AE恒過(guò)點(diǎn).
注意當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)AE的方程為，過(guò)點(diǎn)，
得到結(jié)論：直線(xiàn)AE過(guò)定點(diǎn).
（ⅱ）由（ⅰ）知，直線(xiàn)AE過(guò)焦點(diǎn)，
得到，
設(shè)直線(xiàn)AE的方程為，
根據(jù)點(diǎn)在直線(xiàn)AE上，
得到，再設(shè)，直線(xiàn)AB的方程為，
可得，
代入拋物線(xiàn)方程得，
可求得，，
應(yīng)用點(diǎn)B到直線(xiàn)AE的距離為.
從而得到三角形面積表達(dá)式，應(yīng)用基本不等式得到其最小值.
試題解析：（I）由題意知
設(shè)，則FD的中點(diǎn)為，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/2a/7/i2phi1.png" style="vertical-align:middle;" />，
由拋物線(xiàn)的定義知：，
解得或（舍去）.
由，解得.
所以?huà)佄锞�(xiàn)C的方程為.
（II）（�。┯桑↖）知，
設(shè)，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/2a/7/i2phi1.png" style="vertical-align:middle;" />，則，
由得，故，
故直線(xiàn)AB的斜率為，
因?yàn)橹本�(xiàn)和直線(xiàn)AB平行，
設(shè)直線(xiàn)的方程為，
代入拋物線(xiàn)方程得，
由題意，得.
設(shè)，則，.
當(dāng)時(shí)，，
可得直線(xiàn)AE的方程為，
由，
整理可得，
直線(xiàn)AE恒過(guò)點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)AE的方程為，過(guò)點(diǎn)，
所以直線(xiàn)AE過(guò)