Question

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線x²+y²+2x-6y+1=0上有兩點(diǎn)P、Q，滿足關(guān)于直線x+my+4=0對(duì)稱，又滿足·=0.

（1）求m的值；

（2）求直線PQ的方程.

Answer 1

（1）m=-1（2）y=-x+1

解析:

（1）曲線方程為（x+1）²+(y-3)²=9表示圓心為

（-1，3），半徑為3的圓.

∵點(diǎn)P、Q在圓上且關(guān)于直線x+my+4=0對(duì)稱，

∴圓心（-1，3）在直線上，代入得m=-1.

（2）∵直線PQ與直線y=x+4垂直，

∴設(shè)P（x₁，y₁）、Q(x₂，y₂)，PQ方程為y=-x+b.

將直線y=-x+b代入圓的方程，

得2x²+2(4-b)x+b²-6b+1=0.

Δ=4(4-b)²-4×2×(b²-6b+1)＞0,

得2-3＜b＜2+3.

由根與系數(shù)的關(guān)系得

x₁+x₂=-(4-b),x₁·x₂=.

y₁·y₂=b²-b(x₁+x₂)+x₁·x₂=+4b.

∵·=0，

∴x₁x₂+y₁y₂=0，即b²-6b+1+4b=0,

解得b=1(2-3,2+3),

∴所求的直線方程為y=-x+1.