Question

【題目】為固定的整數(shù)，定義任意整數(shù)坐標(biāo)點(diǎn)關(guān)于的余數(shù)是關(guān)于的余數(shù).找出所有正整數(shù)數(shù)組，使得以、、、為頂點(diǎn)的長(zhǎng)方形具有如下性質(zhì)：

ⅰ.長(zhǎng)方形內(nèi)整數(shù)點(diǎn)以為余數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)相同；

ⅱ.長(zhǎng)方形邊界上整數(shù)點(diǎn)以為余數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)相同.

Answer 1

【答案】滿足條件的為：當(dāng)時(shí)，中至少有一個(gè)為奇數(shù)；當(dāng)時(shí)，

或

【解析】

長(zhǎng)方形邊界上共有個(gè)整點(diǎn)，則有.

長(zhǎng)方形內(nèi)共有個(gè)整點(diǎn)，則有.

當(dāng)時(shí)，為使其中被2除余0，1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同，則必有.

從而，中至少有一個(gè)為奇數(shù).

另一方面，當(dāng)中至少有一個(gè)為奇數(shù)時(shí)，不妨設(shè)為奇數(shù)，則對(duì)一切在個(gè)點(diǎn)中被2除余0，1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同.從而，長(zhǎng)方形內(nèi)的整點(diǎn)中被2除余0，1的個(gè)數(shù)相同.

又及中被2除余0，1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同，且對(duì)一切，點(diǎn)與被2除余數(shù)一個(gè)為0，一個(gè)為1.從而，長(zhǎng)方形邊界上的點(diǎn)中被2除余0，1的個(gè)數(shù)也相同.

故此時(shí)滿足要求，其中中至少有一個(gè)奇數(shù).

當(dāng)時(shí)，邊界上共有個(gè)整點(diǎn)：

與

.

它們的坐標(biāo)和分別為與.

設(shè)則邊界上的點(diǎn)中被除余的有偶數(shù)個(gè)，

且若，則邊界上的點(diǎn)中被除余0的有奇數(shù)個(gè)， 這不可能，故必有.

且當(dāng)時(shí)， 邊界上的點(diǎn)中被除余的個(gè)數(shù)必相同.

又長(zhǎng)方形內(nèi)部共有個(gè)點(diǎn)，故必有.

若，則設(shè)分別是除以的余數(shù)，

則，且若，則又由知，從而，

.

這不可能，故.同理知.

于是，長(zhǎng)方形內(nèi)部整點(diǎn)被除余的個(gè)數(shù)相同等價(jià)于

中被除余的個(gè)數(shù)相同.

又，故必有.于是，

中沒有被除余0的點(diǎn)，矛盾.

從而之一必被除余1，而另一個(gè)被除余.此時(shí)，由于或，可知內(nèi)部整點(diǎn)被除余的個(gè)數(shù)相同.

綜上所述，滿足條件的為：當(dāng)時(shí)，中至少有一個(gè)為奇數(shù)；當(dāng)時(shí)，

或.