【題目】如圖,四棱錐的底面是正方形,每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍,為側(cè)棱上的點.
(1)求證:;
(2)若平面,求二面角的大。
(3)在(2)的條件下,側(cè)棱上是否存在一點,使得平面.若存在,求的值;若不存在,試說明理由.
【答案】(1)見證明;(2) (3)見解析
【解析】
(1)先證明平面,即可得到;
(2)由題設(shè)知,連,設(shè)交于于,由題意知平面.以為坐標(biāo)原點,,,分別為軸、軸、軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的一個法向量,求法向量的夾角余弦值,即可求出結(jié)果;
(3)要使平面,只需與平面的法向量垂直即可,結(jié)合(2)中求出的平面的一個法向量,即可求解.
(1)連交于,由題意.
在正方形中,,
所以平面,得
(2)由題設(shè)知,連,設(shè)交于于,由題意知平面.以為坐標(biāo)原點,,,分別為軸、軸、軸正方向,建立坐標(biāo)系如圖.
設(shè)底面邊長為,則高.
則,,
又平面,
則平面的一個法向量,
平面的一個法向量,
則,
又二面角為銳角,則二面角為;
(3)在棱上存在一點使平面.由(2)知是平面的一個法向量,
且,
設(shè),
則
又平面,所以,
則.
即當(dāng)時,
而不在平面內(nèi),故平面.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線C的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系原點為極點,x軸非負半軸為極軸并取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,
(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程,并說明其表示什么軌跡;
(2)若直線l的極坐標(biāo)方程為,求曲線C上的點到直線l的最大距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)某農(nóng)產(chǎn)品近幾年的產(chǎn)量統(tǒng)計如表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份代碼t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
年產(chǎn)量y(萬噸) | 6.6 | 6.7 | 7 | 7.1 | 7.2 | 7.4 |
(Ⅰ)根據(jù)表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的線性回歸方程;
(Ⅱ)根據(jù)線性回歸方程預(yù)測2019年該地區(qū)該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量.
附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:,.(參考數(shù)據(jù):,計算結(jié)果保留小數(shù)點后兩位)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】5名運動員參加一次乒乓球比賽,每名運動員都賽場并決出勝負.設(shè)第位運動員共勝場,負場(),則錯誤的結(jié)論是( )
A.
B.
C. 為定值,與各場比賽的結(jié)果無關(guān)
D. 為定值,與各場比賽結(jié)果無關(guān)
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【題目】已知集合 .對于,定義與之間的距離為.
(Ⅰ),寫出所有的;
(Ⅱ)任取固定的元素,計算集合中元素個數(shù);
(Ⅲ)設(shè),中有個元素,記中所有不同元素間的距離的最小值為.證明: .
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【題目】下列說法:①若線性回歸方程為,則當(dāng)變量增加一個單位時,一定增加3個單位;②將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后,方差不會改變;③線性回歸直線方程必過點;④抽簽法屬于簡單隨機抽樣;其中錯誤的說法是( )
A.①③B.②③④C.①D.①②④
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【題目】為了解某校高一1000名學(xué)生的物理成績,隨機抽查了部分學(xué)生的期中考試成績,將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)估計該校高一學(xué)生物理成績不低于80分的人數(shù);
(2)若在本次考試中,規(guī)定物理成績在m分以上(包括m分)的為優(yōu)秀,該校學(xué)生物理成績的優(yōu)秀率大約為18%,求m的值.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極坐標(biāo)系的極點在平面直角坐標(biāo)系的原點處,極軸與軸的正半軸重合,且長度單位相同;曲線 的方程是,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),設(shè), 直線與曲線交于 兩點.
(1)當(dāng)時,求的長度;
(2)求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)已知是定義在上的奇函數(shù),求實數(shù)、的值;
(2)已知是定義在上的函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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