Question

已知函數(shù)f（x）=e^x•（cosx+sinx），將滿足f'（x）=0的所有正數(shù)x從小到大排成數(shù)列{x_n}，記a_n=f（x_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)c_n=ln|a_n|，求c₁+c₂+c₃+…+c_n；
（Ⅲ）若b_n=

(-1)n+1(n+1)

an

，試比較b_n+1與b_n的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），由f′（x）=0可得x，從而可得x_n，a_n，只證明

an+1

an

為常數(shù)即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出a_n，從而可得c_n，可判斷{c_n}為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列求和公式可求；
（Ⅲ）表示出b_n+1與b_n，利用作差法可作出大小比較；

解答：（Ⅰ）證明：f'（x）=e^x（cosx+sinx）+e^x（-sinx+cosx）=2e^xcosx，
令f'（x）=0，∴f′(x)=2excosx=0∴x=kπ-

π

2

，k∈Z，
∴xn=nπ-

π

2

，n=1，2，3…，
∴an=f(xn)=enπ-

π

2

•sin(nπ-

π

2

)=(-1)n+1enπ-

π

2

，
∴

an+1

an

=

f(xn+1)

f(xn)

=-eπ，且a1=e

π

2

，
∴{a_n}是以e

π

2

為首項(xiàng)，-e^π為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，an=(-1)n-1enπ-

π

2

，則 c_n=ln|a_n|=nπ-

π

2

，
∴{c_n}是以

π

2

為首項(xiàng)，π為公差等差數(shù)列，
∴c₁+c₂+c₃+…+c_n=n•

π

2

+

n•(n-1)

2

•d=

π

2

•n2；
（Ⅲ） bn=

(-1)n+1(n+1)

an

=

n+1

enπ- π 2

，∴b_n+1=

n+2

e(n+1)π- π 2

，
b_n+1-b_n=

n+2

e(n+1)π- π 2

-

n+1

enπ- π 2

=

enπ- π 2 [(n+2)-(n+1)eπ]

enπ+ π 2 •enπ- π 2

=

enπ- π 2 [n(1-eπ)+(2-eπ)]

enπ+ π 2 •enπ- π 2

，
∵e^π＞2，∴

enπ- π 2 [n(1-eπ)+(2-eπ)]

enπ+ π 2 •enπ- π 2

＜0∴bn+1＜bn．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的求和、等比數(shù)列通項(xiàng)公式，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，運(yùn)算量較大．