Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)原點(diǎn)且斜率為1的直線交橢圓于兩點(diǎn)，四邊形的周長(zhǎng)與面積分別為12與.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線與圓相切，且與橢圓交于兩點(diǎn)，求原點(diǎn)到的中垂線的最大距離.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）不妨設(shè)點(diǎn)是第一象限的點(diǎn)，由四邊形的周長(zhǎng)求出，面積求出與關(guān)系，再由點(diǎn)在直線上，得到與關(guān)系，代入橢圓方程，求解即可；

（2）先求出直線斜率不存在時(shí)，原點(diǎn)到的中垂線的距離，斜率為0時(shí)與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，利用與圓相切，求出關(guān)系，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求出中點(diǎn)坐標(biāo)，得到的中垂線方程，進(jìn)而求出原點(diǎn)到中垂線的距離表達(dá)式，結(jié)合關(guān)系，即可求出結(jié)論.

（1）不妨設(shè)點(diǎn)是第一象限的點(diǎn)，

因?yàn)樗倪呅?/span>的周長(zhǎng)為12，所以，，

因?yàn)?/span>，所以，

得，點(diǎn)為過(guò)原點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓的交點(diǎn)，

即點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在橢圓上，

所以，即，

解得或（舍），

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為，

線段的中垂線為軸，原點(diǎn)到軸的距離為0.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，依題意可設(shè)，

因?yàn)橹本�與圓相切，所以，

設(shè)，，聯(lián)立，

得，

由，得，又因?yàn)?/span>，所以，

所以，

所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以的中垂線方程為，

化簡(jiǎn)，得，

原點(diǎn)到直線中垂線的距離，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，

所以原點(diǎn)到的中垂線的最大距離為.