Question

已知函數(shù)f(x)=lnx+

a

x

(a＞0)
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若以y=f（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀）為切點(diǎn)的切線的斜率k≤

1

2

恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，在函數(shù)的定義域內(nèi)分x∈（0，a）和（a，+∞）討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求出函數(shù)在x=x₀處的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題意以y=f（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀）為切點(diǎn)的切線的斜率k≤

1

2

恒成立，可得導(dǎo)函數(shù)

x0-a

x02

≤

1

2

對(duì)x₀∈（0，3]恒成立，分離參數(shù)后求函數(shù)的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由f(x)=lnx+

a

x

(a＞0)，得：f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}，且a＞0．
∴當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．
∴函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（0，a），增區(qū)間為（a，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′(x0)=

x0-a

x02

，
以y=f（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀）為切點(diǎn)的切線的斜率k≤

1

2

恒成立，
即

x0-a

x02

≤

1

2

對(duì)x₀∈（0，3]恒成立，即2x0-2a≤x02對(duì)x₀∈（0，3]恒成立，
也就是a≥-

x02

2

+x0=-

1

2

(x0-1)2+

1

2

對(duì)x₀∈（0，3]恒成立，
令g（x）=-

1

2

(x0-1)2+

1

2

 （x₀∈（0，3]），
當(dāng)x=1時(shí)，g(x)max=g(1)=

1

2

，
∴a≥

1

2

．
∴所求實(shí)數(shù)a的最小值為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在圖象上某點(diǎn)處的切線的斜率就是在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，考查了利用分離變量法求參數(shù)的取值范圍，此題是中檔題．