【題目】在平面直角坐標系中，點、分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線的離心率為，點在雙曲線上，不在軸上的動點與動點關于原點對稱，且四邊形的周長為.

(1)求動點的軌跡的方程；

(2)過點的直線交的軌跡于，兩點，為上一點，且滿足，其中，求的取值范圍.

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意列出表達式，又因為點在雙曲線上，所以，聯(lián)立兩個方程可得到參數(shù)值；（2）聯(lián)立直線和橢圓得到二次方程，又因為，得，代入橢圓方程得，根據(jù)弦長公式得到，求表達式的范圍即可.

詳解：(1)設點，分別為， ，由已知，所以，， ，又因為點在雙曲線上，所以，

則，即，解得，，所以.

連接，因為，，所以四邊形為平行四邊形，

因為四邊形的周長為，所以，

所以動點的軌跡是以點、分別為左、右焦點，長軸長為的橢圓(除去左右頂點)，可得動點的軌跡方程為：.

(2)由題意可知該直線存在斜率，設其方程為且.

由得，

∴，得，

設，，，則，

由，得，

代入橢圓方程得，由得，

∴，

令，則，∴.

練習冊系列答案
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