已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2．
（1）若橢圓C上的點A（1，
3
2
）到F1，F(xiàn)2的距離之和為4，求橢圓C的方程和焦點的坐標；
（2）若M，N是C上關于（0，0）對稱的兩點，P是C上任意一點，直線PM，PN的斜率都存在，記為kPM，kPN，求證：kPM與kPN之積為定值．
分析：（1）先根據點A到F1、F2兩點的距離之和求得a，進而把A點代入橢圓方程求得b，則c可得，進而可求得橢圓的方程和焦點坐標．
（2）設點M的坐標為（m，n），根據點的對稱性可求得N的坐標，代入橢圓方程設出點P的坐標，則利用斜率公式可分別表示出PM和PN的斜率，求得二者乘積的表達式，把y2=3-
3
4
x2，n2=3-
3
4
m2代入結果為常數(shù)，原式得證．
解答：解：（1）橢圓C的焦點在x軸上，由橢圓上的點A到F1、F2兩點的距離之和是4，得2a=4，即a=2．又點A（1，
3
2
））在橢圓上，因此
1
a2
+
(
3
2
)2
b2
=1得b2=3，于是c2=1．所以橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1，焦點F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）．
（2）設點M的坐標為（m，n），則點N的坐標為（-m，-n），其中
m2
4
+
n2
3
=1．
又設點P的坐標為（x，y），由kPM=
y-n
x-m
，kPN=
y+n
x+m

得kPM•kPN=
y+n
x+m
•
y-n
x-m
=
y2-n2
x2-m2
將y2=3-
3
4
x2，n2=3-
3
4
m2代入得kPM•kPN=-
3
4

故kPM與kPN之積為定值．
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程，直線的斜率，橢圓的性質，考查了學生分析推理和基本的運算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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