在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線l過點A(2,0),傾斜角為
π2

(1)寫出直線l的參數(shù)方程;
(2)若有一極坐標(biāo)系分別以直角坐標(biāo)系的原點和x軸非負(fù)半軸為原點和極軸,并且兩坐標(biāo)系的單位長度相等,在極坐標(biāo)系中有曲線C:ρ2cos2θ=1,求直線l截曲線C所得的弦BC的長度.
分析:(1)過點(a,b)傾斜角為θ的直線的參數(shù)方程為
x=a+tcosθ
y=b+tsinθ
(t為參數(shù)),依此即可得過點A(2,0),傾斜角為
π
2
的直線l的參數(shù)方程;
(2)先將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,方法1可利用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義求弦BC的長度,方法2可將直線的參數(shù)方程化為普通方程,與曲線C聯(lián)立求弦BC的長度
解答:解:(1)直線l的參數(shù)方程可以寫作
x=2+tcos
π
2
y=tsin
π
2
,即
x=2
y=t

(2)方法1:把曲線C的方程化為直角坐標(biāo)方程,可得ρ2(cos2θ-sin2θ)=1,即x2-y2=1
x=2
y=t
代入上式得22-t2=1∴t1=
3
,t2=-
3

|BC|=|t1-t2|=|
3
-(-
3
)|=2
3

方法2:把曲線C的方程化為直角坐標(biāo)方程,可得ρ2(cos2θ-sin2θ)=1,即x2-y2=1
依題意得直線l的直角坐標(biāo)方程為x=2
x=2
x2-y2=1
可求得兩個交點的坐標(biāo)為B(2,
3
),C(2,-
3
)

|BC|=2
3
點評:本題考察了直線的參數(shù)方程及其意義和運用,曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程與普通方程的互化,極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化
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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點,x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為:pcos(θ-
π3
)=1
,M,N分別為曲線C與x軸,y軸的交點,則MN的中點P在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為
 

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π
2
,
2
)
,且|
AC
|=|
BC
|

(1)求角θ的值;
(2)設(shè)α>0,0<β<
π
2
,且α+β=
2
3
θ
,求y=2-sin2α-cos2β的最小值.

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在平面直角坐標(biāo)系中,如果x與y都是整數(shù),就稱點(x,y)為整點,下列命題中正確的是
 
(寫出所有正確命題的編號).
①存在這樣的直線,既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點
②如果k與b都是無理數(shù),則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點
③直線l經(jīng)過無窮多個整點,當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個不同的整點
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是:k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線.

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在平面直角坐標(biāo)系中,以點(1,0)為圓心,r為半徑作圓,依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點,若AC與BD的交點F恰好為拋物線的焦點,則r=
 

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