如圖,四棱錐PABCD的底面是矩形,側(cè)面PAD
是正三角形,且側(cè)面PAD⊥底面ABCD,E為側(cè)棱PD的中點.
(I)試判斷直線PB與平面EAC的關(guān)系
(文科不必證明,理科必須證明);
(II)求證:AE⊥平面PCD;
(III)若ADAB,試求二面角APCD
的正切值.
(I)PB∥平面EAC.(II)證明見解析 ,(III)二面角APCD的正切值為.  
解法一:
(I)PB∥平面EAC.證明如下:
連結(jié)BDAC于點O,連結(jié)EO,則OBD的中點,
又∵EPD的中點,∴EOPB,∴PB∥平面EAC
(II)∵CDAD,且側(cè)面PAD⊥底面ABCD,
而側(cè)面PAD底面ABCDAD
CD⊥側(cè)面PAD,∴CDAE
∵側(cè)面PAD是正三角形,E為側(cè)棱PD的中點,
AEPD,∴AE⊥平面PCD;     
(III)過EEMPCM,連結(jié)AM,由(2)及三垂線定理知AMPC
∴∠AME為二面角APCD的平面角.                               10分
由正三角形PAD及矩形ABCD,且ADAB,∴PDADABDC,
∴在等腰直角三角形DPC中,設(shè)ABa,則AEa,PCaEM×a. 12分
AEM中,tan∠AME. 
即二面角APCD的正切值為.        
解法二:(I)同解法一                   

(II)設(shè)NAD中點,QBC中點,則因為△PAD是正三角形,底面ABCD是矩形,所以,PNAD,QNAD,又因為側(cè)面PAD⊥底面ABCD,所以,PN⊥面ABCDQN⊥面PAD,以N為坐標(biāo)原點,NA、NQ、NP所在直線分別為x,yz軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AD=1,ABa,則,,,.                                                                                                   
,.
,.
.又PD,DCPDC,
AE⊥平面PCD;            
(III)當(dāng)a=1時,由(2)可知:是平面PDC的法向量,
設(shè)平面PAC的法向量為,則,
,取x=1,可得:y=1,z.所以,.    
向量所成角的余弦值為:.  
∴tanq=.                                                             
又由圖可知,二面角APCD的平面角為銳角,所以二面角APCD的平面角就是向量所成角的補角.其正切值等于.                                       14分
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