Question

已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)M，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，若|MF|=1，且雙曲線C的離心率．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)A（0，1）的直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn)P、Q，且P在A、Q之間，若且，求直線l斜率k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由對(duì)稱性，不妨設(shè)M是右準(zhǔn)線與一漸近線的交點(diǎn)，
其坐標(biāo)為M（），∵|MF|=1，∴，
又∴，，
解得a²=2，b²=1，所以雙曲線C的方程是；（6分）
（2）設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為y=kx+1，設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由得：（1-2k²）x²-4kx-4=0，
∵l與雙曲線C的右支交于不同的兩點(diǎn)P、Q，
∴
∴且k＜0①（9分）
又∵且P在A、Q之間，，∴x₁=λx₂且，
∴∴，
∵=在上是減函數(shù)（∵f′（λ）＜0），
∴，
∴，由于，∴②（12分）
由①②可得：，（13分）
即直線l斜率取值范圍為（14分）
分析：（1）利用雙曲線的右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)M，可求點(diǎn)M的坐標(biāo)，由|MF|=1，可得方程，借助于離心率及幾何量的關(guān)系，從而求出雙曲線的方程；
（2）將直線與雙曲線的方程聯(lián)立可得（1-2k²）x²-4kx-4=0，，從而可有，即且k＜0，再根據(jù)且，有，從而可求k的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，關(guān)鍵是尋找?guī)缀瘟恐�間的關(guān)系，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，通過(guò)聯(lián)立方程組，借助于根與系數(shù)的關(guān)系，從而使問(wèn)題得解．