Question

已知函數(shù)在處取到極值2．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）試研究曲線的所有切線與直線垂直的條數(shù)；
（Ⅲ）若對任意，均存在，使得，試求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）.          （Ⅱ）當(dāng)，即或時(shí)，滿足條件的切線有2條，當(dāng)，即時(shí)，滿足條件的切線有1條，當(dāng)，即時(shí)，滿足條件的切線不存在．     （Ⅲ）且．  

（I）根據(jù)f(0)=2,建立關(guān)于c,d的方程，求出c,d的值.
（II）本小題的實(shí)質(zhì)是判定方程根的個(gè)數(shù).然后利用二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)借助判別式解決即可.
(III)先求f(x)在[1,2]上最小值，然后再求出在[0,1]上的最小值，那么本小題就轉(zhuǎn)化為
（Ⅰ），                 ……………1分
根據(jù)題意得解得．                ……………2分
經(jīng)檢驗(yàn)在處取到極值2．∴.  ……3分
（Ⅱ）即，，… 5分
當(dāng)，即或時(shí)，滿足條件的切線有2條，
當(dāng)，即時(shí)，滿足條件的切線有1條，
當(dāng)，即時(shí)，滿足條件的切線不存在．       ……………8分
（Ⅲ）根據(jù)題意可知，                 ……………9分
令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，
故函數(shù)在處取得最小值．………11分
在恒成立，
即在恒成立.設(shè)，，由得，由得.∴函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，∴函數(shù)，∴且．