正方形ABCD的 邊長(zhǎng)是a，依次連結(jié)正方形ABCD各邊中點(diǎn)得到一個(gè)新的正方形，再依次連結(jié)正方形各邊中點(diǎn)又得到一個(gè)新的正方形，依此得到一系列的正方形，如圖所示．現(xiàn)有一只小蟲從A點(diǎn)出發(fā)，沿正方形的邊逆時(shí)針方向爬行，每遇到新正方形的頂點(diǎn)時(shí)，沿這個(gè)正方形的邊逆時(shí)針方向爬行，如此下去，爬行了10條線段．則這10條線段的長(zhǎng)度的平方和是（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】分析：根據(jù)中位線定理，每一次連接得到的正方形的邊長(zhǎng)是上一個(gè)正方形對(duì)角線的一半，即可第一、二、三次連接得到的正方形的邊長(zhǎng)，依此類推找出規(guī)律，可得出第n次圍出的正方形的邊長(zhǎng)，再由題意和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出所要求出的值．
解答：解：由題意得，每一次連接得到的正方形的邊長(zhǎng)是上一個(gè)正方形對(duì)角線的一半，
根據(jù)中位線定理依次得：
第一次連接得到的正方形的邊長(zhǎng)為a，第二次連接得出的正方形的邊長(zhǎng)為a=a，
第三次次連接得出的正方形的邊長(zhǎng)為a，…
綜上可得第n次圍出的正方形邊長(zhǎng)為，
由題意知，一只小蟲在每個(gè)正方形爬行的線段的長(zhǎng)度是此正方形的邊長(zhǎng)的一半，
所求的10條線段的長(zhǎng)度的平方和是：
s=[1+++…+]=×=，
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題以圖形的變化為載體，考查了歸納推理的應(yīng)用，中位線定理，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，解題的關(guān)鍵是通過觀察、歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律，求出第n次圍出的正方形的邊長(zhǎng)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，記
AB
=
a
，
BC
=
b
，
AC
=
c
，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　�。�
A、（
a
-
b
）•
c
=0
B、（
a
+
b
-
c
）•
a
=0
C、（|
a
-
c
|-|
b
|）
a
=
0
D、|
a
+
b
+
c
|=
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，延長(zhǎng)BA至E，使AE=1，連接EC、ED，則cos∠CED=（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，在正方形及其內(nèi)部任選一點(diǎn)P（在正方形及其內(nèi)部點(diǎn)的選取都是等可能的），作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，矩形PMAN的面積為S．
（1）請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)P（x，y），寫出x，y滿足的條件，并作出滿足S≤1的P點(diǎn)的區(qū)域；
（2）求S≤1的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，中心為M，球O與正方形ABCD所在的平面相切于M點(diǎn)，過點(diǎn)M的球的直徑另一端點(diǎn)為N，線段NA與球O的球面的交點(diǎn)為E，且E恰為線段NA的中點(diǎn)，則球O的體積為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•虹口區(qū)二模）（文）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，PD⊥平面ABCD，PD=3，
（1）求PB與平面ABCD所成角的大��；
（2）求異面直線PC與BD的夾角大�。�

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