Question

（本題滿分13分）如圖，圓柱內(nèi)有一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O直徑．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）設(shè)，在圓柱內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于三棱柱內(nèi)的概率為．

（�。┊�(dāng)點(diǎn)C在圓周上運(yùn)動時(shí)，求的最大值；

（ii）記平面與平面所成的角為，當(dāng)取最大值時(shí)，求的值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析

（Ⅱ）（�。�  （ii）

【解析】（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013072612551151676991/SYS201307261256120139940893_DA.files/image003.png">平面ABC，平面ABC，所以，

因?yàn)锳B是圓O直徑，所以，又，所以平面，

而平面，所以平面平面．          ………3分

（Ⅱ）（i）有AB=AA₁=2，知圓柱的半徑，其體積

三棱柱的體積為，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013072612551151676991/SYS201307261256120139940893_DA.files/image022.png">，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，從而，

故當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，

所以的最大值是．             ………8分

(ii）方法一：延長A₁A，B₁O交于G，取AC中點(diǎn)H，連OH，則OH∥BC，且，OH⊥平面，過H作HK⊥CG，連OK，則，在Rt中，作，則 有，則，在Rt中，，

方法二：取AC中點(diǎn)H，可用射影面積法

方法三：由（i）可知，取最大值時(shí)，，于是以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，

建立空間直角坐標(biāo)系，則C（1，0，0），B（0，1，0），（0，1，2），

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013072612551151676991/SYS201307261256120139940893_DA.files/image012.png">平面，所以是平面的一個(gè)法向量，

設(shè)平面的法向量，由，故，

取得平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013072612551151676991/SYS201307261256120139940893_DA.files/image051.png">，

所以．              ………13分