Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n＝n²＋1，數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公比為b的等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n.

Answer 1

(1) a_n＝(2) T_n＝

(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a₁＝S₁＝2；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n＝S_n－S_n－1＝n²＋1－(n－1)²－1＝2n－1.
所以a_n＝
(2)當(dāng)b＝1時(shí)，a_nb_n＝
此時(shí)，T_n＝2＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n²＋1.
當(dāng)b≠1時(shí)，a_nb_n＝
此時(shí)，T_n＝2＋3b＋5b²＋…＋(2n－1)b^n－1，①
兩端同時(shí)乘以b，得bT_n＝2b＋3b²＋5b³＋…＋(2n－1)bⁿ.②
①－②，得(1－b)T_n＝2＋b＋2b²＋2b³＋…＋2b^n－1－(2n－1)bⁿ＝
2(1＋b＋b²＋b³＋…b^n－1)－(2n－1)·bⁿ－b＝－(2n－1)bⁿ－b，所以T_n＝－.
綜上所述，T_n＝