Question

【題目】數(shù)列1，1，3，3，，，…，，是由兩個(gè)1，兩個(gè)3，兩個(gè)，…，兩個(gè)按從小到大順序排列，數(shù)列各項(xiàng)的和記為，對(duì)于給定的自然數(shù)，若能從數(shù)列中選取一些不同位置的項(xiàng)，使得這些項(xiàng)之和恰等于，便稱為一種選項(xiàng)方案，和數(shù)為的所有選項(xiàng)方案的種數(shù)記為.試求：

的值.

Answer 1

【答案】

【解析】

對(duì)每個(gè)，易知數(shù)列前項(xiàng)之和小于，故形如的項(xiàng)必須從兩個(gè)中選出，于是選出一個(gè)有二種方法，同時(shí)選出兩個(gè)只有一種方法.

對(duì)于集合中的每一個(gè)數(shù)，可將其表成

，

其中.

即為的含有1993位的三進(jìn)制數(shù)形式.

若，，，…，中恰是個(gè)為1（其余為0或2），則.

將集合分解為

，

其中中的每個(gè)數(shù)，在表成上述三進(jìn)制形式后，數(shù)碼，，，…，中恰有個(gè)為1，因此，數(shù)集中共有個(gè)數(shù)，這時(shí)，中各數(shù)的值之和為

.

由于集，，，…，兩兩不交，從而

.

即.

注意到

即數(shù)列中每項(xiàng)都不選，其方法數(shù).

故.