Question

底面ABCD為矩形的四棱錐P-ABCD中，，BC=1，PA=2，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，E為PD的中點
（Ⅰ）求直線AC與PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N，使NE⊥面PAC，并求出點N到AB和AP的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）以A為原點，建立空間直角坐標系如圖所示，可得B、C、D、P、E各點坐標，從而得到向量的坐標，利用空間向量的夾角公式即可算出AC與PB所成角的余弦值；
（2）根據(jù)N點在側(cè)面PAB內(nèi)，設N點坐標為（x，0，z），利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組，解出x=且z=1，得N，即可得到側(cè)面PAB內(nèi)存在點N，使NE⊥面PAC，并可給出N點到AB和AP的距離．
解答：解：（1）以A為原點，AB、AD、AP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系如圖所示
可得、、D（0，1，0）、
P（0，0，2）、，
從而．
設的夾角為θ，則
，
∴AC與PB所成角的余弦值為
（Ⅱ）由于N點在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設N點坐標為（x，0，z），
則，
由NE⊥面PAC可得，，即
化簡得，即，可得N點的坐標為，
從而側(cè)面PAB內(nèi)存在點N，使NE⊥面PAC，N點到AB和AP的距離分別為．
點評：本題在特殊的四棱錐中求異面直線所成角的余弦值，并探索側(cè)面PAB內(nèi)滿足NE⊥面PAC的點P位置，著重考查了空間向量的夾角公式、平面法向量的求法和利用空間向量研究空間位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．