Question

已知函數(shù)f(x)=sin2ωx+

3

sinωxsin(ωx+

π

2

)（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

2π

3

]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式、兩角和差的正弦公式，化簡函數(shù)的解析式為

1

2

+sin（2ωx-

π

6

），根據(jù)周期等于π 求出ω 值．
（Ⅱ）由 2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求出x的范圍即得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（Ⅲ）根據(jù) x∈[0，

2π

3

]，可得 2x-

π

6

 的范圍，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

2π

3

]上
 的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f(x)=sin2ωx+

3

sinωxsin(ωx+

π

2

)=sin2ωx+

3

sinωx • cosωx 
=

1-cos2ωx

2

+

3 sin2ωx

2

=

1

2

+sin（2ωx-

π

6

），且它的周期等于π，∴

2π

2ω

=π，
∴ω=1，∴f（x）=

1

2

+sin（2x-

π

6

）．
（Ⅱ）由 2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，可得 kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為
[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈z．
（Ⅲ）∵x∈[0，

2π

3

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

7π

6

]，故當(dāng) 2x-

π

6

=

π

2

時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

2π

3

]上
有最大值為

3

2

．

點評：本題考查二倍角公式、兩角和差的正弦公式，三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，是一道中檔題．