Question

已知定點(diǎn)A(1,0)，B (2,0) ．動點(diǎn)M滿足，
（1）求點(diǎn)M的軌跡C；
（2）若過點(diǎn)B的直線l（斜率不等于零）與（1）中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)E、F
（E在B、F之間），試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍．

Answer 1

（1）（2）（,1）

試題分析：（1）先對原函數(shù)求導(dǎo)，然后求出斜率，再利用 進(jìn)行整理即可．
(2)先設(shè)方程為 與  聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系以及判別式得到再由
得，即可
（1）由得, ∴．∴直線的斜率為，
故的方程為，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)．                        (2分)
設(shè),則(1,0),,，由
得，整理，得．           　     (4分)
(2)方法一:如圖，由題意知的斜率存在且不為零，設(shè)方程為 ①，將①代入，整理，得,設(shè),,則②得        (7分)

令， 則，由此可得 ，
，且．∴    
由②知 ，．
∴,                     (10分)
∵，∴，解得 且     　 (12分)
又∵， ∴，
∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是（,1）．           (13分)
方法二:如圖，由題意知l’的斜率存在且不為零，設(shè)l’ 方程為 ①，將①代入，整理，得,設(shè),,則 ② ;  (7分)
令， 則，由此可得 ， ，且．
∴                  (10分)
∵, ∴,解得 且          (12分)
又∵， ∴，
∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是（,1）．      (13分)