設數(shù)列{an}的首項a1=
5
4
,且an+1=
1
2
a
n
,n為偶數(shù)
an+
1
4
,n為奇數(shù)
,記bn=a2n-1-
1
4
,n=1,2,3,…
(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(Ⅱ)若設數(shù)列{cn}的前n項和為Sn,cn=nbn,求Sn
分析:(I)由已知只要證明
bn+1
bn
為常數(shù),即可證數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,可求bn
(II)由(I)可得cn=nbn=n•
1
2n-1
,結合數(shù)列的特點,考慮利用錯位相減求解數(shù)列的和
解答:解(Ⅰ)∵bn+1=a2n+1-
1
4
=
1
2
a2n-
1
4
=
1
2
(a2n-1+
1
4
)-
1
4
=
1
2
(a2n-1-
1
4
)=
1
2
bn,(n∈N*)

所以{bn}是首項為a1-
1
4
=1
,公比為
1
2
的等比數(shù)列
bn=
1
2n-1

(Ⅱ)∵cn=nbn=n•
1
2n-1

Sn=1+2×
1
2
+3×
1
22
+…+(n-1)×
1
2n-2
+n×
1
2n-1

1
2
Sn
=
1
2
+2×
1
22
+3×
1
23
+…+(n-1)×
1
2n-1
+n×
1
2n

①-②得
1
2
Sn=1+
1
2
+
1
22
+…+
1
2n-1
-
n
2n

Sn=2[
1-(
1
2
)
n
1-
1
2
]-
n
2n-1
=4-
1
2n-2
-
n
2n-1
點評:本題主要考查了數(shù)列的遞推公式在數(shù)列的通項公式求解中的應用,等比數(shù)列的通項公式的應用,及數(shù)列求和的錯位相減求和方法的應用,屬于數(shù)列知識的綜合性的應用.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設數(shù)列{an}的首項a1=
3
2
,前n項和為Sn,且滿足2an+1+Sn=3( n∈N*).
(Ⅰ)求a2及an;
(Ⅱ)求滿足
18
17
S2n
Sn
8
7
的所有n的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設數(shù)列{an}的首項a1=a≠
1
4
,且an+1=
1
2
an
(n為偶數(shù))
an+
1
4
(n為奇數(shù))
,n∈N*,記bn=a2n-1-
1
4
cn=
sinn
|sinn|
bn
,n∈N*
(1)求a2,a3;
(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并證明你的結論;
(3)當a>
1
4
時,數(shù)列{cn}前n項和為Sn,求Sn最值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設數(shù)列{an}的首項a1=
1
2
,且an+1=
2an
1+an
(n∈N*).
(1)求a2,a3,a4;
(2)根據(jù)上述結果猜想數(shù)列{an}的通項公式,并用數(shù)學歸納法加以證明.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•昌平區(qū)二模)設數(shù)列{an}的首項a1=-
1
2
,前n項和為Sn,且對任意n,m∈N*都有
Sn
Sm
=
n(3n-5)
m(3m-5)
,數(shù)列{an}中的部分項{abk}(k∈N*)成等比數(shù)列,且b1=2,b2=4.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}與{bn}與的通項公式;
(Ⅱ)令f(n)=
1
bn+1
,并用x代替n得函數(shù)f(x),設f(x)的定義域為R,記cn=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)(n∈N*)
,求
n
i=1
1
cici+1

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