Question

【題目】武漢出現(xiàn)的新型冠狀病毒是一種可以通過飛沫傳播的變異病毒，某藥物研究所為篩查該新型冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有份血液樣本，每份樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗方式：①逐份檢驗，則需要檢驗n次；②混合檢驗，將其中份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結(jié)果為陰性，這k份血液全為陰性，因此這k份血液樣本檢驗一次就夠了，如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份血液再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為次.假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陰性還是陽性都是獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為.

（1）假設有5份血液樣本，其中只有2份為陽性，若采取逐份檢驗方式，求恰好經(jīng)過2次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率；

（2）現(xiàn)取其中份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的次數(shù)為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為.

（i）試運用概率統(tǒng)計知識，若，試求P關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；

（ii）若，采用混合檢驗方式可以使得這k份血液樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)期望值更少，求k的最大值.

參考數(shù)據(jù)：，，，，

Answer 1

【答案】(1) ;(2) （i）,;（ii）4

【解析】

(1)根據(jù)排列的方法列式求概率即可.

(2) （i）分別求解,再化簡求時的解析式即可.

（ii）由題,化簡可得,再構(gòu)造函數(shù)求導分析函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)零點存在性定理求區(qū)間端點的正負判斷即可.

(1)設恰好經(jīng)過2次檢驗能把陽性樣本全部檢驗出來的事件為,則,故恰好經(jīng)過2次檢驗能把陽性樣本全部檢驗出來的概率為

(2) （i）由已知可得,所有可能的取值為.

所以,,

所以.

若,則,所以.

故.

所以P關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式,

（ii）由題意可知,即,化簡得.

因為,所以,即.

設函數(shù).

又,故當時, ,即在上單調(diào)遞減.

又,.

故的最大值為4.