Question

【題目】如圖，在三棱柱中，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；

（2）若，，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）連接，交于點(diǎn)，利用中位線定理可證得，從而得證；

（2）以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求兩個(gè)面的法向量，利用向量夾角公式求解即可.

（1）連接，交于點(diǎn)，連接，，

因?yàn)槔庵�的�?cè)面是平行四邊形，所以是的中點(diǎn)．

又因?yàn)?/span>是中點(diǎn)，所以是的中位線．

所以．

又因?yàn)?/span>平面，平面．

所以平面．

（2）連接，，．

因?yàn)?/span>，．

故， 都為等邊三角形．

因?yàn)?/span>是中點(diǎn)，所以，，

因?yàn)?/span>，，所以，．

所以．

所以，，兩兩垂直，

以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，

，，

設(shè)平面的法向量，則，

取，得，

平面的法向量，

設(shè)二面角的平面角為，顯然為銳角，故，

所以二面角的余弦值為．