如圖所示的幾何體中,面為正方形,面為等腰梯形,,,,且平面平面.
(1)求與平面所成角的正弦值;
(2)線段上是否存在點,使平面平面?
證明你的結(jié)論.
(1) , (2)詳見解析.
解析試題分析:(1)利用空間向量求線面角,關(guān)鍵求出面的一個法向量. 先由面面垂直得到線面垂直,即由平面面,得平面.建立空間直角坐標系,表示各點坐標,得 ,設(shè)平面的法向量為,則有所以 取,得.根據(jù)與平面所成的角正弦值等于與平面法向量夾角余弦值的絕對值,得到與平面所成角的正弦值為.(2) 假設(shè)線段上存在點,設(shè) ,可求出平面的一個法向量.要使平面平面,只需,即,此方程無解,所以線段上不存在點,使平面平面.
(1)因為,,
在△中,由余弦定理可得,
所以. 又因為
平面面,所以平面.
所以兩兩互相垂直,
如圖建立空間直角坐標系.
設(shè),所以.
所以,,.
設(shè)平面的法向量為,則有
所以 取,得.
設(shè)與平面所成的角為,則,
所以與平面所成角的正弦值為.
(2)線段上不存在點,使平面
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐E﹣ABCD中,矩形ABCD所在的平面與平面AEB垂直,且∠BAE=120°,AE=AB=4,AD=2,F(xiàn),G,H分別為BE,AE,BC的中點
(1)求證:DE∥平面FGH;
(2)若點P在直線GF上,=λ,且二面角D﹣BP﹣A的大小為,求λ的值.
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如圖,正方形A1BA2C的邊長為4,D是A1B的中點,E是BA2上的點,將△A1DC
及△A2EC分別沿DC和EC折起,使A1、A2重合于A,且平面ADC⊥平面EAC.
(1)求證:AC⊥DE;
(2)求二面角A-DE-C的余弦值。
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如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E為BD的中點,G為PD的中點,△DAB ≌△DCB,EA=EB=AB=1,PA=,連接CE并延長交AD于F.
(1)求證:AD⊥平面CFG;
(2)求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值.
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如下圖,在三棱錐中,底面,點為以為直徑的圓上任意一動點,且,點是的中點,且交于點.
(1)求證:面;
(2)當(dāng)時,求二面角的余弦值.
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已知四棱錐P—GBCD中(如圖),PG⊥平面GBCD,GD∥BC,GD=BC,且BG⊥GC,GB=GC=2,E是BC的中點,PG=4
(1)求異面直線GE與PC所成角的余弦值;
(2)若F點是棱PC上一點,且,,求的值.
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如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,D為AC中點,于,延長AE交BC于F,將ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,如圖2所示.
(1)求證:AE⊥平面BCD;
(2)求二面角A–DC–B的余弦值.
(3)在線段上是否存在點使得平面?若存在,請指明點的位置;若不存在,請說明理由.
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如圖所示,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,點D是BC的中點.
(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值;
(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值.
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