Question

已知函數(shù)，,
(1)若為奇函數(shù)，求的值；
(2)若=1，試證在區(qū)間上是減函數(shù)；
(3)若=1，試求在區(qū)間上的最小值.

Answer 1

(1)
(2)利用“定義法”證明。在區(qū)間上是減函數(shù)
(3) 若，由(2)知在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上，當時，有最小值，且最小值為2。

試題分析：(1)當時，，若為奇函數(shù)，則
即,所以
(2)若，則=
設為, =
∵
∴,∴>0
所以，，因此在區(qū)間上是減函數(shù)
(3) 若，由(2)知在區(qū)間上是減函數(shù)，下面證明在區(qū)間上是增函數(shù).
設 , =
∵,
∴
∴
所以 ，
因此在區(qū)間上上是增函數(shù)
因此，在區(qū)間上，當時，有最小值，且最小值為2
點評：中檔題，研究函數(shù)的奇偶性，要注意定義域關于原點對稱。利用定義法研究函數(shù)的單調(diào)性，要注意遵循“設，作差，變形，定號，結論”等步驟，關鍵是變形與定號。函數(shù)的單調(diào)性的基本應用之一是求函數(shù)的最值。