Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求證：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都有；

（3）若方程為實(shí)數(shù)）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求和的解，即可求出函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有，即對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有；

（3）由（2）知，，求出方程的根，由在上單調(diào)遞減，得到.同理得到，則可證得結(jié)果..

（1）解：由，可得.

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.

的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）證明：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則，，

曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，

令函數(shù)，即，

則，在R上單調(diào)遞減.

，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，

在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，

對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，即對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有；

（3）證明：由（2）知，，設(shè)方程的根為，可得.

在上單調(diào)遞減，又由（2）知，

因此.

類(lèi)似地，設(shè)曲線在原點(diǎn)處的切線方程為，可得，

對(duì)于任意的，有，即.

設(shè)方程的根為，可得，

在上單調(diào)遞增，且，

因此，

由此可得.