(2013•肇慶二模)已知函數(shù)f(x)=a(x-
1
x
)-2lnx (a∈R)

(1)若a=2,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè)函數(shù)g(x)=-
a
x
.若至少存在一個(gè)x0∈[1,e],使得f(x0)>g(x0)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)當(dāng)a=2時(shí)求出f(1),切線斜率k=f′(1),利用點(diǎn)斜式即可求得切線方程;
(2)求出函數(shù)定義域,分①當(dāng)a≤0,②當(dāng)a>0兩種情況討論解不等式f'(x)>0,f'(x)<0即可;
(3)存在一個(gè)x0∈[1,e]使得f(x0)>g(x0),則ax0>2lnx0,等價(jià)于a>
2lnx0
x0
,令F(x)=
2lnx
x
,等價(jià)于“當(dāng)x∈[1,e]時(shí),a>F(x)min”.利用導(dǎo)數(shù)易求其最小值.
解答:解:函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+∞),f′(x)=a(1+
1
x2
)-
2
x
=
ax2-2x+a
x2
.   
(1)當(dāng)a=2時(shí),函數(shù)f(x)=2(x-
1
x
)-2lnx
,f′(x)=
2x2-2x+2
x2
,
因?yàn)閒(1)=0,f'(1)=2.
所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-0=2(x-1),即2x-y-2=0.
(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞).
①當(dāng)a≤0時(shí),h(x)=ax2-2x+a<0在(0,+∞)上恒成立,
則f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,
此時(shí)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減. 
②當(dāng)a>0時(shí),△=4-4a2,
(。┤0<a<1,
由f'(x)>0,即h(x)>0,得x<
1-
1-a2
a
x>
1+
1-a2
a
; 
由f'(x)<0,即h(x)<0,得
1-
1-a2
a
<x<
1+
1-a2
a

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,
1-
1-a2
a
)
(
1+
1-a2
a
,+∞)
,
單調(diào)遞減區(qū)間為(
1-
1-a2
a
,
1+
1-a2
a
)
.  
(ⅱ)若a≥1,h(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,則f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,此時(shí)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增. 
(3))因?yàn)榇嬖谝粋(gè)x0∈[1,e]使得f(x0)>g(x0),
則ax0>2lnx0,等價(jià)于a>
2lnx0
x0

F(x)=
2lnx
x
,等價(jià)于“當(dāng)x∈[1,e]時(shí),a>F(x)min”.
對(duì)F(x)求導(dǎo),得F′(x)=
2(1-lnx)
x2

因?yàn)楫?dāng)x∈[1,e]時(shí),F(xiàn)'(x)≥0,所以F(x)在[1,e]上單調(diào)遞增.
所以F(x)min=F(1)=0,因此a>0.
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及求函數(shù)的最值問(wèn)題,考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,對(duì)于“能成立”問(wèn)題及“恒成立”問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•肇慶二模)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)
若以直角坐標(biāo)系的x軸的非負(fù)半軸為極軸,曲線l1的極坐標(biāo)系方程為ρsin(θ-
π
4
)=
2
2
(ρ>0,0≤θ≤2π),直線l2的參數(shù)方程為
x=1-2t
y=2t+2
(t為參數(shù)),則l1與l2的交點(diǎn)A的直角坐標(biāo)是
(1,2)
(1,2)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•肇慶二模)定義全集U的子集M的特征函數(shù)為fM(x)=
1,x∈M
0,x∈CUM
,這里?UM表示集合M在全集U中的補(bǔ)集,已M⊆U,N⊆U,給出以下結(jié)論:
①若M⊆N,則對(duì)于任意x∈U,都有fM(x)≤fN(x);
②對(duì)于任意x∈U都有fCUM(x)=1-fM(x)
③對(duì)于任意x∈U,都有fM∩N(x)=fM(x)•fN(x);
④對(duì)于任意x∈U,都有fM∪N(x)=fM(x)•fN(x).
則結(jié)論正確的是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•肇慶二模)不等式|2x+1|>|5-x|的解集是
(-∞,-6)∪(
4
3
,+∞)
(-∞,-6)∪(
4
3
,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•肇慶二模)在等差數(shù)列{an}中,a15=33,a25=66,則a35=
99
99

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•肇慶二模)
π
2
0
(3x+sinx)dx=
3
8
π2+1
3
8
π2+1

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