如圖，四棱錐中，是正三角形，四邊形是矩形，且平面平面，，．

(Ⅰ)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：平面；
（II）試問(wèn)點(diǎn)在線段上什么位置時(shí)，二面角的余弦值為.

（Ⅰ）見(jiàn)解析；
（II）當(dāng)點(diǎn)在線段的中點(diǎn)時(shí)，二面角的余弦值為.

解析試題分析：（Ⅰ）通過(guò)連接，應(yīng)用三角形的中位線定理得到證明得到 面．
（II）利用空間直角坐標(biāo)系，確定平面的一個(gè)法向量，而平面的法向量，得到，確定出點(diǎn)在線段的中點(diǎn)時(shí)，二面角的余弦值為.解答此類問(wèn)題，要注意發(fā)現(xiàn)垂直關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)刂苯亲鴺?biāo)系，以簡(jiǎn)化解題過(guò)程.
試題解析：（Ⅰ）證明：連接，設(shè)，連接，
由三角形的中位線定理可得：，
∵平面，平面，∴平面．
（II）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

在中，斜邊,得，所以，.
設(shè)，得.
設(shè)平面的一個(gè)法向量，由得，
取，得.
而平面的法向量，所以由題意，即，
解得（舍去）或，所以，當(dāng)點(diǎn)在線段的中點(diǎn)時(shí)，二面角的余弦值為.
考點(diǎn)：平行關(guān)系，空間向量的應(yīng)用，二面角的計(jì)算.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖1，A，D分別是矩形A1BCD1上的點(diǎn)，AB＝2AA1＝2AD＝2，DC＝2DD1，把四邊形A1ADD1沿AD折疊，使其與平面ABCD垂直，如圖2所示，連接A1B，D1C得幾何體ABA1­DCD1.

(1)當(dāng)點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)時(shí)，證明：D1E⊥A1D；
(2)在棱AB上是否存在點(diǎn)E，使二面角D1­EC­D的平面角為？若存在，求出AE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中點(diǎn).

(1)求證:B1C∥平面A1BD；
(2)求平面A1DB與平面DBB1夾角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面是正方形，平面，為上的點(diǎn)，且.

（1）證明：；
（2）若，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上，PC⊥平面BDE．

(1) 證明：BD⊥平面PAC；
(2) 若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在底面邊長(zhǎng)為2，高為1的正四梭柱ABCD=A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BC，C1D1的中點(diǎn)．

（1）求異面直線A1E，CF所成的角；
（2）求平面A1EF與平面ADD1A1所成銳二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB="A" A1，∠BA A1=60°.

（Ⅰ）證明AB⊥A1C;
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

長(zhǎng)方體中，

（1）求直線所成角；
（2）求直線所成角的正弦.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

(本題12分)
已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為分別為：試判斷的形狀。

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