Question

【題目】在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點(diǎn)P是邊AB邊上異于AB的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P（如圖），若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則AP等于（ ）

A.2
B.1
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系：
可得B（4，0），C（0，4），故直線BC的方程為x+y=4，
△ABC的重心為（ ， ），設(shè)P（a，0），其中0＜a＜4，
則點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)P1（x，y），滿足 ，
解得 ，即P1（4，4﹣a），易得P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P2（﹣a，0），
由光的反射原理可知P1 ， Q，R，P2四點(diǎn)共線，
直線QR的斜率為k= = ，故直線QR的方程為y= （x+a），
由于直線QR過△ABC的重心（ ， ），代入化簡(jiǎn)可得3a2﹣4a=0，
解得a= ，或a=0（舍去），故P（ ，0），故AP=
故選D

建立坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，可得P關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)，和P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P2的坐標(biāo)，由P1 ， Q，R，P2四點(diǎn)共線可得直線的方程，由于過△ABC的重心，代入可得關(guān)于a的方程，解之可得P的坐標(biāo)，進(jìn)而可得AP的值．