【題目】離心率為的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，且？若存在，求出該圓的方程，并求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）；

（2）存在，理由見(jiàn)解析；圓的方程為；.

【解析】

（1）利用離心率和橢圓所過(guò)點(diǎn)聯(lián)立方程組可求橢圓的方程；

（2）先假設(shè)存在符合要求的圓，利用求出圓的切線(xiàn)，結(jié)合弦長(zhǎng)公式表示出，利用基本不等式求解范圍.

（1）因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以；

又離心率為，所以，結(jié)合可得，

所以橢圓的方程為.

（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，且，設(shè)圓的切線(xiàn)方程為，.

聯(lián)立得，

即.

因?yàn)?/span>，所以，即，

所以，即；

因?yàn)閳A的切線(xiàn)方程為，所以圓的半徑為，，所求圓的方程為.

由及可得，即或；

當(dāng)圓的切線(xiàn)斜率不存在時(shí)，切線(xiàn)方程為，切線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為或者，均滿(mǎn)足.

綜上可知，存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，且.

因?yàn)?/span>

所以

當(dāng)時(shí)，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值3；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)與橢圓交于或者此時(shí).

綜上可知，.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】近年來(lái)，隨著我國(guó)汽車(chē)消費(fèi)水平的提高，二手車(chē)流通行業(yè)得到迅猛發(fā)展．某汽車(chē)交易市場(chǎng)對(duì)2017年成交的二手車(chē)交易前的使用時(shí)間（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“使用時(shí)間”）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到頻率分布直方圖如圖1．

圖1 圖2

（1）記“在年成交的二手車(chē)中隨機(jī)選取一輛，該車(chē)的使用年限在”為事件，試估計(jì)的概率；

（2）根據(jù)該汽車(chē)交易市場(chǎng)的歷史資料，得到散點(diǎn)圖如圖2，其中(單位：年)表示二手車(chē)的使用時(shí)間，(單位：萬(wàn)元)表示相應(yīng)的二手車(chē)的平均交易價(jià)格．由散點(diǎn)圖看出，可采用作為二手車(chē)平均交易價(jià)格關(guān)于其使用年限的回歸方程，相關(guān)數(shù)據(jù)如下表（表中，）：

①根據(jù)回歸方程類(lèi)型及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；

②該汽車(chē)交易市場(chǎng)對(duì)使用8年以?xún)?nèi)(含8年)的二手車(chē)收取成交價(jià)格的傭金，對(duì)使用時(shí)間8年以上(不含8年)的二手車(chē)收取成交價(jià)格的傭金．在圖1對(duì)使用時(shí)間的分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值．若以2017年的數(shù)據(jù)作為決策依據(jù)，計(jì)算該汽車(chē)交易市場(chǎng)對(duì)成交的每輛車(chē)收取的平均傭金．

附注：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為；

②參考數(shù)據(jù)：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】我區(qū)的中小學(xué)辦學(xué)條件在政府的教育督導(dǎo)下，迅速得到改變.督導(dǎo)一年后.分別隨機(jī)抽查了高中（用表示）與初中（用表示）各10所學(xué)校.得到相關(guān)指標(biāo)的綜合評(píng)價(jià)得分（百分制）的莖葉圖如圖所示.則從莖葉圖可得出正確的信息為（80分及以上為優(yōu)秀）（ ）

①高中得分與初中得分的優(yōu)秀率相同

②高中得分與初中得分的中位數(shù)相同

③高中得分的方差比初中得分的方差大

④高中得分與初中得分的平均分相同

A.①②B.①③C.②④D.③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公司即將推車(chē)一款新型智能手機(jī)，為了更好地對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行宣傳，需預(yù)估市民購(gòu)買(mǎi)該款手機(jī)是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了50名市民進(jìn)行購(gòu)買(mǎi)意愿的問(wèn)卷調(diào)查，若得分低于60分，說(shuō)明購(gòu)買(mǎi)意愿弱；若得分不低于60分，說(shuō)明購(gòu)買(mǎi)意愿強(qiáng)，調(diào)查結(jié)果用莖葉圖表示如圖所示．

（1）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為市民是否購(gòu)買(mǎi)該款手機(jī)與年齡有關(guān)？

購(gòu)買(mǎi)意愿強(qiáng)

購(gòu)買(mǎi)意愿弱

合計(jì)

20-40歲

大于40歲

合計(jì)

（2）從購(gòu)買(mǎi)意愿弱的市民中按年齡進(jìn)行分層抽樣，共抽取5人，從這5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行采訪(fǎng)，記抽到的2人中年齡大于40歲的市民人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

附：．

6.635

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求證：；

（2）當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若，證明.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤(pán)游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓后要么出現(xiàn)一次音樂(lè)，要么不出現(xiàn)音樂(lè)；每盤(pán)游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)三次音樂(lè)獲得150分，出現(xiàn)兩次音樂(lè)獲得100分，出現(xiàn)一次音樂(lè)獲得50分，沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)則獲得-300分.設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)相互獨(dú)立.

（1）若一盤(pán)游戲中僅出現(xiàn)一次音樂(lè)的概率為，求的最大值點(diǎn)；

（2）以（1）中確定的作為的值，玩3盤(pán)游戲，出現(xiàn)音樂(lè)的盤(pán)數(shù)為隨機(jī)變量，求每盤(pán)游戲出現(xiàn)音樂(lè)的概率，及隨機(jī)變量的期望；

（3）玩過(guò)這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤(pán)游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒(méi)有增加反而減少了.請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析分?jǐn)?shù)減少的原因.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)的圖象總在函數(shù)圖象的下方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）＝|x﹣a|+|x|（a＞0）．

（1）若不等式f（x）﹣| x|≥4x的解集為{x|x≤1}，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）證明：f（x）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖,設(shè)點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，圓過(guò)且斜率為的直線(xiàn)交圓于兩點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)兩點(diǎn)，已知當(dāng)時(shí)，

（1）求橢圓的方程.

（2）當(dāng)時(shí)，求的面積.

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