Question

【題目】在多面體ABCDE中，BC=BA，DE∥BC，AE⊥平面BCDE，BC=2DE，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥平面ACD；
（2）若EA=EB=CD，求二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AC中點(diǎn)G，連接DG，F(xiàn)G．

因?yàn)镕是AB的中點(diǎn)，所以FG是△ABC的中位線，

則FG∥BC，F(xiàn)G= ，

所以FG∥DE，F(xiàn)G=DE，

則四邊形DEFG是平行四邊形，

所以EF∥DG，故EF∥平面ACD．

（2）解：過(guò)點(diǎn)B作BM垂直DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，

因?yàn)锳E⊥平面BCDE，所以AE⊥BM，則BM⊥平面ADE，

過(guò)M作MH⊥AD，垂足為H，連接BH，則AD⊥平面BMH，

所以AD⊥BH，則∠BHM是二面角B﹣AD﹣E的平面角．

設(shè)DE=a，則BC=AB=2a，

在△BEM中，EM= ，BE= ，所以BM= ．

又因?yàn)椤鰽DE∽△MDH，

所以HM= ，則tan∠BHM= ．

【解析】（1）取AC中點(diǎn)G，連接DG，F(xiàn)G，由已知得四邊形DEFG是平行四邊形，由此能證明EF∥平面ACD．（2）過(guò)點(diǎn)B作BM垂直DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)M作MH⊥AD，垂足為H，連接BH，則∠BHM是二面角B﹣AD﹣E的平面角，由此能求出二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用直線與平面平行的判定，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行即可以解答此題．