對于函數(shù)f（x），若存在x0∈R，使得f（x0）=x0成立，則稱x0為函數(shù)f（x）不動點．已知函數(shù)f（x）=ax2+（b-7）x+18有兩個不動點分別是-3和2．
（1）求a，b的值及f（x）的表達式；
（2）試求函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值g（t）．
分析：（1）直接利用定義把條件轉化為ax2+（b-8）x+18=0的兩個根是-3和2，即可求a，b的值及f（x）的表達式；
（2）先對字母t進行分類討論，再結合二次的單調性即可求函數(shù)f（x）的最大值g（t）．
解答：解：（1）∵f（x）=ax2+（b-7）x+18的不動點是-3和2
∴ax2+（b-8）x+18=0的兩個根是-3和2
∴
8-b
a
=-1
18
a
=-6
⇒
a=-3
b=5

∴f（x）=-3x2-2x+18…（6分）
（2）①當t≥-
1
3
時，f（x）在[t，t+1]上單調遞減，g（t）=-3t2-2t+18
②當t+1≤-
1
3
即t≤-
4
3
時，f（x）在[t，t+1]上單調遞增，g（t）=-3t2-8t+13
③當t＜-
1
3
＜t+1即-
4
3
＜t＜-
1
3
時，f（x）在[t，-
1
3
]上單調遞增，在[-
1
3
，t+1]遞減，
∴g(t)=
55
3
…（12分）
綜上可知：g(t)=
-3t2-2t+18(t≥-
1
3
)
55
3
(-
4
3
＜t＜-
1
3
)
-3t2-8t+13(t≤-
4
3
)
…（13分）
點評：本題以新定義為載體，考查函數(shù)的解析式，考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的一個“穩(wěn)定區(qū)間”．給出下列4個函數(shù)：
①f（x）=（x-1）2；②f（x）=|2x-1|；③f(x)=cos
π2
x；④f（x）=ex．其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有
 
（填出所有滿足條件的函數(shù)序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x），若在其定義域內存在兩個實數(shù)a，b（a＜b），使當x∈[a，b]時，f（x）的值域也是[a，b]，則稱函數(shù)f（x）為“科比函數(shù)”．若函數(shù)f（x）=k+
x+2
是“科比函數(shù)”，則實數(shù)k的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動點．如果函數(shù)
f（x）=ax2+bx+1（a＞0）有兩個相異的不動點x1，x2．
（1）若x1＜1＜x2，且f（x）的圖象關于直線x=m對稱，求證：
12
＜m＜1；
（2）若|x1|＜2且|x1-x2|=2，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x），若f（x0）=x0，則稱x0為f（x）的：“不動點”；若f[f（x0）]=x0，則稱x0為f（x）的“穩(wěn)定點”．函數(shù)f（x）的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為A和B，即A={x|f[f（x）]=x}．
（1）設函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且A=∅，求證：B=∅；
（2）設函數(shù)f（x）=3x+4，求集合A和B，并分析能否根據(jù)（1）（2）中的結論判斷A=B恒成立？若能，請給出證明，若不能，請舉以反例．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x），若存在x0∈R，使得f（x0）=x0，則稱x0為函數(shù)f（x）的不動點．若函數(shù)f（x）=
x2+a
bx-c
（b，c∈N*）有且僅有兩個不動點0和2，且f（-2）＜-
1
2
．
（1）試求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間，
（2）已知各項不為0的數(shù)列{an}滿足4Sn•f（
1
an
）=1，其中Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，求證：(1-
1
an
)an+1＜
1
e
＜(1-
1
an
)an
（3）在（2）的前題條件下，設bn=-
1
an
，Tn表示數(shù)列{bn}的前n項和，求證：T2011-1＜ln2011＜T2010．

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