如圖，直三棱柱
ABC－
A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，
AB＝
BC=
，
BB1＝3，
D為
A1C1的中點(diǎn)，
F在線(xiàn)段
AA1上．
（1）
AF為何值時(shí)，
CF⊥平面
B1DF？
（2）設(shè)
AF=1，求平面
B1CF與平面
ABC所成的銳二面角的余弦值.
（1）
AF＝1或2時(shí)，
CF⊥平面
B1DF（2）銳二面角的余弦值
（1）因?yàn)橹比庵?i>ABC－
A1B1C1中，
BB1⊥面
ABC，∠
ABC＝
．
以
B點(diǎn)為原點(diǎn)，
BA、
BC、
BB1分別為
x、
y、
z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
因?yàn)?i>AC＝2，∠
ABC＝90º，所以
AB＝
BC＝，
從而
B(0，0，0)，
A
，
C
，
B1(0，0，3)，
A1
，
C1
，
D
，
E
．
所以
，
設(shè)
AF＝
x，則
F(，0，
x)，
.
，所以
要使
CF⊥平面
B1DF，只需
CF⊥
B1F.
由
＝2＋
x（
x－3）＝0，得
x＝1或
x＝2，
故當(dāng)
AF＝1或2時(shí)，
CF⊥平面
B1DF．……………… 5分
（2）由（1）知平面
ABC的法向量為
n1=（0，0，1）.
設(shè)平面
B1CF的法向量為
，則由
得
令
z=1得
，
所以平面
B1CF與平面
ABC所成的銳二面角的余弦值
………………… 10分
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目：高中數(shù)學(xué)
來(lái)源：不詳
題型：解答題
如圖，圓錐
中，
、
為底面圓的兩條直徑，
，且
，
，
為
的中點(diǎn).
（1）求圓錐
的表面積；
（2）求異面直線(xiàn)
與
所成角的正切值.
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科目：高中數(shù)學(xué)
來(lái)源：不詳
題型：解答題
、
、
兩兩異面，空間與
、
、
，均相交的直線(xiàn)有多少條？
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科目：高中數(shù)學(xué)
來(lái)源：不詳
題型：解答題
已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，∠C=45°,AD=AB=2,把梯形沿BD折起成60°的二面角C′-BD-A.求： (1)C′到平面ADB的距離；
(2)AC′與BD所成的角.
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科目：高中數(shù)學(xué)
來(lái)源：不詳
題型：解答題
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科目：高中數(shù)學(xué)
來(lái)源：不詳
題型：解答題
如圖，在四棱錐
P—ABCD中，
PD⊥底面
ABCD，底面
ABCD為正方形，
PD=
DC，
E、
F分別是
AB，
PB的中點(diǎn).
（I）求證：
EF⊥
CD；
（II）求
DB與平面
DEF所成角的正弦值；
（III）在平面
PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)
G，使
G在平面
PCB上的射影為△
PCB的外心，若存在，試確定點(diǎn)
G的位置；若不存在，說(shuō)明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué)
來(lái)源：不詳
題型：單選題
右圖幾何體是由下邊的哪一個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而形成的( )
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科目：高中數(shù)學(xué)
來(lái)源：不詳
題型：解答題
正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為面A1B1C1D1的中心,求證:PA⊥PB1.
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科目：高中數(shù)學(xué)
來(lái)源：不詳
題型：解答題
（1）求證:
平面
（2）求二面角
的大小
（3）求直線(xiàn)AB與平面
所成線(xiàn)面角的正弦值
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