Question

【題目】如圖在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥側面BB1C1C，BC= ，AB=CC1=2，∠BCC1= ，點E在棱BB1上．

（1）求C1B的長，并證明C1B⊥平面ABC；
（2）若BE=λBB1 ， 試確定λ的值，使得二面角A﹣C1E﹣C的余弦值為 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為BC= ，CC1=BB1=2，∠BCC1= ，

在△BCC1中，由余弦定理，得C1B= = ，

所以C1B2+BC2=CC12，即C1B⊥BC．

又AB⊥側面BCC1B1，故AB⊥BC1，

又CB∩AB=B，所以C1B⊥平面ABC．

（2）解：由（1）知，BC，BA，BC1兩兩垂直，

以B為空間坐標系的原點，建立如圖所示的坐標系，

則B（0，0，0），A（0，2，0），C（ ，0，0），

=（0，2，﹣ ）， = +λ = +λ =（﹣ λ，0， λ﹣ ），

設平面AC1E的一個法向量為 =（x，y，z），

則 ，

令z= ，得 =（ ，1， ），

平面C1EC的一個法向量 =（0，1，0），

∵BE=λBB1，確定λ的值，使得二面角A﹣C1E﹣C的余弦值為 ，

∴cos＜ ＞= = = ，

解得 ，

∴當λ= 時，二面角A﹣C1E﹣C的余弦值為 ．

【解析】（1）由余弦定理，得C1B= ，由勾股定理得C1B⊥BC．由線面垂直得AB⊥BC1 ， 由此能證明C1B⊥平面ABC．（2）以B為空間坐標系的原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出當λ= 時，二面角A﹣C1E﹣C的余弦值為 ．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想才能正確解答此題．