【答案】
分析:(1)選擇利用數(shù)學歸納法為妥,需要注意的是有歸納假設a
k到a
k+1的變形,利用歸納假設,注意目標的形式就能得到結果;另外可以利用遞推數(shù)列來求得通項公式,當然需要對遞推數(shù)列的a
n+1=pa
n+f(n)這種形式的處理要合適;這種形式的一般處理方法是:兩邊同時除以p
n+1或者是構造一個等比數(shù)列,構造法有一定的技巧,如本題可設a
n-a3
n=-2(a
n-1-a3
n-1),
(2)由(1)的結論可作差a
n-a
n-1>0并代入運算,由于含有(-1)
n的形式要注意對n=2k-1和n=2k進行討論,只需取k=1,2時得到a
的取值范圍即可,另外一個思路是只需取n=1,2時得到a
的范圍,然后分n=2k-1和n=2k進行證明a
n-a
n-1>0.具體解法參見參考答案.
解答:解:(1)證法一:
(i)當n=1時,由已知a
1=1-2a
,等式成立;
(ii)假設當n=k(k≥1)等式成立,
則
,
那么
=
.
也就是說,當n=k+1時,等式也成立.
根據(jù)(i)和(ii),可知等式對任何n∈N,成立.
證法二:如果設a
n-a3
n=-2(a
n-1-a3
n-1),
用a
n=3
n-1-2a
n-1代入,可解出
.
所以
是公比為-2,
首項為
的等比數(shù)列.
∴
.
即
.
(2)解法一:由a
n通項公式
.
∴a
n>a
n-1(n∈N)等價于
.①
(i)當n=2k-1,k=1,2,時,
①式即為
即為
.
②式對k=1,2,都成立,
有
.
(ii)當n=2k,k=1,2時,
①式即為
.
即為
.
③式對k=1,2都成立,有
.
綜上,①式對任意n∈N
*,成立,有
.
故a
的取值范圍為
.
解法二:如果a
n>a
n-1(n∈N
*)成立,
特別取n=1,2有a
1-a
=1-3a
>0.a(chǎn)
2-a
1=6a
>0.
因此
.下面證明當
.時,
對任意n∈N
*,a
n-a
n-1>0.
由a
n的通項公式5(a
n-a
n-1)=2×3
n-1+(-1)
n-13×2
n-1+(-1)
n5×3×2
n-1a
.
(i)當n=2k-1,k=1,2時,
5(a
n-a
n-1)=2×3
n-1+3×2
n-1-5×3×2
n-1a
>2×2
n-1+3×2
n-1-5×3×2
n-1=0
(ii)當n=2k,k=1,2時,
5(a
n-a
n-1)=2×3
n-1-3×2
n-1+5×3×2
n-1a
>2×3
n-1-3×2
n-1≥0.
故a
的取值范圍為
.
點評:本題主要考查數(shù)列、等比數(shù)列的概念,考查數(shù)學歸納法,考查靈活綜合運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力.對遞推數(shù)列的a
n+1=pa
n+f(n)這種形式的考查是一個難點,同時除以p
n+1得到
,然后用累加法得到
的等式可得結果,或者是構造一個等比數(shù)列a
n+1+kf(n)=p(a
n+kf(n))(不具有普適性).