Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點(diǎn)，AA₁=AB=2，四棱錐B-AA₁C₁D的體積為3．
（1）求證：AB₁∥平面BC₁D；
（2）求直線(xiàn)A₁C₁與平面BDC₁所成角的正弦值；
（3）求二面角C-BC₁-D的正切值．

Answer 1

分析：（1）欲證AB₁∥平面BC₁D，只需證明AB₁平行平面BC₁D中的一條直線(xiàn)，利用三角形的中位線(xiàn)平行與第三邊，構(gòu)造一個(gè)三角形AB1C，使AB₁成為這個(gè)三角形中的邊，而中位線(xiàn)OD恰好在平面BC₁D上，就可得到結(jié)論．
（2）作BE⊥AC，垂足為E，則BE⊥平面AA₁C₁C．設(shè)BC=a，在Rt△ABC中，BE=

AB•BC

AC

=

2a

4+a2

，利用四棱錐B-AA₁C₁D的體積，可求得BC=3，從而可求BE=

6

13

，根據(jù)VA1-C1BD=VB-A1C1D可求A₁到平面C₁BD的距離，從而可求直線(xiàn)A₁C₁與平面BDC₁所成角的正弦值；
（3）先根據(jù)AA₁=AB=2，四棱錐B-AA₁C₁D的體積為3，求出BC長(zhǎng)，利用三垂線(xiàn)定理，取BC中點(diǎn)M，連接DM，DM⊥平面BCC₁，作MN⊥NC₁與N，連接DN，則DN⊥BC₁，則∠DNM為二面角C-BC₁-D的平面角．再把角∠DNM放到三角形DMN中求出正切值即可．

解答：解：（1）證明：連接B₁C，設(shè)B₁C與BC₁相交于點(diǎn)O，連接OD，
∵四邊形BCC₁B是平行四邊形，
∴點(diǎn)O為B₁C的中點(diǎn)，
∵D為AC的中點(diǎn)，
∴OD為△AB₁C的中位線(xiàn)，
∴OD∥AB₁，
∵OD?平面BC₁D，AB₁?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D
（2）作BE⊥AC，垂足為E，
∵側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，BE?底面ABC
∴AA₁⊥BE
∵AA₁∩AC=A
∴BE⊥平面AA₁C₁C．
設(shè)BC=a，在Rt△ABC中，BE=

AB•BC

AC

=

2a

4+a2

∴四棱錐B-AA₁C₁D的體積V=

1

3

×

1

2

（A₁C₁+AD）•AA₁•BE=a=3，即BC=3
∴BE=

6

13

在三角形C₁BD中，BC₁=

13

，BD=

13

2

，C₁D=

29

2

，
∴cos∠C1BD=

9 13

，
∴sin∠C1BD=

4 13

=

2

13

13

∴S△C1BD=

13

2

設(shè)A₁到平面C₁BD的距離為h，則根據(jù)VA1-C1BD=VB-A1C1D，
可得

1

3

×

13

2

×h=

1

3

×

1

2

×2×

13

×

6

13

∴h=

12

13

設(shè)直線(xiàn)A₁C₁與平面BDC₁所成角為α，∴sinα=

h

13

=

12

13

（3）依題意知，AB=BB₁=2，
∵AA₁⊥底面ABC，AA₁?底面AA₁C₁C，
∴平面ABC⊥平面AA₁C₁C，且平面ABC∩平面AA₁C₁C=AC
取BC中點(diǎn)M，連接DM，DM⊥平面BCC₁，作MN⊥NC₁與N，連接DN，則DN⊥BC₁，
∠DNM為二面角C-BC₁-D的平面角．
在△DMN中，DM=1，MN=

3

13

，tan∠DNM=

13

3

，
∴二面角C-BC₁-D的正切值為

13

3

點(diǎn)評(píng)：本題以三棱柱為載體，考查線(xiàn)面平行，考查線(xiàn)面角，考查面面角，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用線(xiàn)面平行的判定，作出線(xiàn)面角，面面角，計(jì)算較繁，需要細(xì)心