Question

【題目】已知二次函數(shù)f（x）=ax2+2x+c的對(duì)稱軸為x=1，g（x）=x+ （x＞0）．
（1）求函數(shù)g（x）的最小值及取得最小值時(shí)x的值；
（2）試確定c的取值范圍，使g（x）﹣f（x）=0至少有一個(gè)實(shí)根；
（3）若F（x）=﹣f（x）+4x+c，存在實(shí)數(shù)t，對(duì)任意x∈[1，m]，使F（x+t）≤3x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵x＞0，∴ ，

∴ ，當(dāng)且僅當(dāng) ，即x=1時(shí)“=”成立，即g（x）min=2，此時(shí)x=1

（2）解：f（x）的對(duì)稱軸為x=1，

∴a=﹣1，

∴f（x）=﹣x2+2x+c，g（x）﹣f（x）=0至少有一個(gè)實(shí)根，

∴g（x）=f（x）至少有一個(gè)實(shí)根，

即g（x）與f（x）的圖象在（0，+∞）上至少有一個(gè)交點(diǎn)，f（x）=﹣（x﹣1）2+1+c，

∴f（x）max=1+c，g（x）min=2，

∴1+c≥2，∴c≥1，

∴c的取值范圍為[1，+∞）

（3）解：F（x）=x2﹣2x﹣c+4x+c=x2+2x，

∴F（x+t）=（x+t）2+2（x+t），

由已知存在實(shí)數(shù)t，對(duì)任意x∈[1，m]，使（x+t）2+2（x+t）≤3x恒成立．

∴x2+（2t﹣1）x+t2+2t≤0．

令h（x）=x2+（2t﹣1）x+t2+2t，

∴ ，即 ，

轉(zhuǎn)化為存在t∈[﹣4，0]，使t2+（2m+2）t+m2﹣m≤0成立．

令G（t）=t2+（2m+2）t+m2﹣m，

∴G（t）的對(duì)稱軸為t=﹣（m+1），

∵m＞1，

∴﹣（m+1）＜﹣2．

①當(dāng)﹣4＜﹣（m+1）＜﹣2，即1＜m＜3時(shí)，

，

∴ ，

∴1＜m＜3．

②當(dāng)﹣（m+1）≤﹣4，即m≥3時(shí)，

，

∴ ，

∴ ，

∴3≤m≤8．

綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為（1，8]

【解析】（1）根據(jù)基本不等式即可求出函數(shù)的最值；（2）根據(jù)對(duì)稱軸求出a=﹣1，分別求出f（x）max=1+c，g（x）min=2，即1+c≥2，解得即；（3）把f（x+t）≤3x轉(zhuǎn)化為（x+t）2+2（x+t）≤3x，即h（x）=x2+（2t﹣1）x+t2+2t，在x∈[1，m]恒小于0問題，考查h（x）的圖象與性質(zhì)，求出m的取值范圍．