Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax，g（x）=f（x）+f'（x），其中a是正實數(shù)．
（1）若當(dāng)1≤x≤e時，函數(shù)f（x）有最大值-4，求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）求a的取值范圍，使得函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由當(dāng)1≤x≤e時，函數(shù)f（x）有最大值-4，求出函數(shù)f（x）=lnx-ax的導(dǎo)數(shù)，對a的范圍時行討論，得出函數(shù)在1≤x≤e最值，令其為-4，求出參數(shù)a，即可得到函數(shù)的解析式；
（2）a的取值范圍，使得函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，可得出，此a的取值范圍，可設(shè)得函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）上的導(dǎo)數(shù)值恒為正或恒為負，由此建立不等式求出a的取值范圍．
解答：解：（1），由∴上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，（3分）
若x∈（0，+∞），則當(dāng)時，f（x）取得最大值．
由條件1≤x≤e，所以
①當(dāng)，即，∴a=e³＞1不可能；
②當(dāng)即a＞1時，由單調(diào)性可知f_max（x）=f（1）=-4，∴a=4＞1滿足條件；
③當(dāng)即時，由單調(diào)性可知f_max（x）=f（e）=-4，∴也不可能．
綜上可知a=4，進而f（x）=lnx-4x（7分）
（2）∴（9分）
當(dāng)，即時，g'（x）≤0恒成立，且只有x=2時g'（x）=0，
所以時，函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)．
因為所求a的取值范圍是．   （12分）
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值問題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，判斷出函數(shù)的最值，本題第一小題利用最值建立方程求出參數(shù)，此是導(dǎo)數(shù)在最值問題中的一個重要運用，本題運算量大，解題時要認真嚴謹，避免變形運算失誤，導(dǎo)致解題失敗．