Question

（2012•青島一模）已知銳角△ABC中內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且a²+b²=c²+ab．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx-

π

6

）-cosωx（ω＞0），且f（x）圖象上相鄰兩最高點(diǎn)間的距離為π，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意，得a²+b²-c²=ab，結(jié)合余弦定理算出cosC=

1

2

，從而得出C=

π

3

；
（II）由兩角差的正弦公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合函數(shù)y=f（x）圖象特征算出f(x)=

3

sin(2x-

π

3

)，將A代入可得f(A)=

3

sin(2A-

π

3

)，根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和A的取值范圍，即可算出f（A）的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵a²+b²=c²+ab，即a²+b²-c²=ab
∴由余弦定理，得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

∵銳角△ABC中，0＜C＜

π

2

，∴C=

π

3

…（4分）
（Ⅱ）∵sin（ωx-

π

6

）=sinωxcos

π

6

-cosωxsin

π

6

=

3

2

sinωx-

1

2

cosωx
∴f(x)=sin(ωx-

π

6

)-cosωx=

3

2

sinωx-

3

2

cosωx=

3

sin(ωx-

π

3

)
由已知

2π

ω

=π，ω=2，得f(A)=

3

sin(2A-

π

3

)，…（8分）
∵C=

π

3

，B=

2π

3

-A，且0＜A＜

π

2

，0＜B＜

π

2

，
∴

π

6

＜A＜

π

2

，可得0＜2A-

π

3

＜

2π

3

…（10分）
根據(jù)正弦函數(shù)圖象，得0＜f(A)≤

3

，即f（A）的取值范圍為(0，

3

]．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形ABC的邊滿足的條件，求角C的大小并依此求f（A）的取值范圍．著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換和利用余弦定理解三角形等知識(shí)，屬于中檔題．