Question

寫出一個同時滿足下列條件的函數(shù)f（x）：如

f（x）=2cos（

1

2

x+π）+4

①f（x）＞0（x∈R）      ②f（x）為周期函數(shù)且最小正周期為T=4π    ③f（x）是R上的偶函數(shù)   
④f（x）是在（-4π，-2π）上的增函數(shù)  ⑤f（x）的最大值與最小值差不小于4．

Answer 1

分析：因為條件②涉及函數(shù)的周期性，條件③涉及函數(shù)的奇偶性，條件④涉及函數(shù)的增函數(shù)，在我們學習過的基本初等函數(shù)只有三角函數(shù)才同時具備滿足上述條件．

解答：解：由已知中各條件可分析余弦型函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）+B滿足上述條件
∵⑤f（x）的最大值與最小值差不小于4．
故|A|≥2，令A=2
∵①f（x）＞0（x∈R） B-|A|＞1，令B=4
∵②f（x）為周期函數(shù)且最小正周期為T=4π，故|ω|=

1

2

，令ω=

1

2

∵③f（x）是R上的偶函數(shù)，在（-4π，-2π）上的增函數(shù)，φ=（2n+1）π，n∈Z，令n=0，則φ=π
綜上f（x）=2cos（

1

2

x+π）+4滿足要求
故答案為：f（x）=2cos（

1

2

x+π）+4（主觀題答案不唯一）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的周期性，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性，函數(shù)的最值，熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．