Question

（2007•汕頭二模）中央電視臺《福州月SKIPIF 1＜0中華情》大型中秋晚會今年在我市海峽會展中心舉行，之前甲、乙兩人參加大會青年志愿者的選拔．已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題．規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答對2題才能入選．
（1）求甲答對試題數ξ的概率分布及數學期望；
（2）求甲、乙兩人至少有一人入選的概率．

Answer 1

分析：（1）甲答對試題數的可能取值為0，1，2，3，結合變量對應的事件和等可能事件的概率公式，得到變量的概率，寫出分布列．做出期望值．
（2）先求甲、乙兩人考試合格的事件的概率，從而可求甲、乙兩人考試均不合格的概率，進而用對立事件，可求甲、乙兩人至少一個合格的概率．

解答：解：（1）甲答對試題數ξ的可能取值為0，1，2，3，
p（ξ=0）=

C 3 4

C 3 10

=

1

30

，
P（ξ=1）=

C 1 6 C 2 4

C 3 10

=

3

10

，
P（ξ=2）=

C 2 6 C 1 4

C 3 10

=

1

2

，
P（ξ=3）=

C 3 6

C 3 10

=

1

6

．
∴ξ的分布列如下：

∴Eξ=0×

1

30

+1×

3

10

+2×

1

2

+3×

1

6

=

9

5

．
（2）設甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B
則 P（A）=

C 2 6 C 1 4 + C 3 6

C 3 10

=

2

3

，
P（B）=

C 2 8 C 1 2 + C 3 8

C 3 10

=

14

15

，
甲、乙兩人考試均不合格的概率為：P（

.

A

.

B

）=P（

.

A

）•P（

.

B

）=（1-

2

3

）（1-

14

15

）=

1

3

×

1

15

=

1

45

，
∴甲、乙兩人至少一個合格的概率為P=1-P（

.

A

.

B

）=1-

1

45

=

44

45

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查利用概率知識解決實際問題的能力，是一個比較好的概率解答題．