【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線過(guò)點(diǎn),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值;
(3)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn), ,求證: .
【答案】(1);(2)當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ;(3)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上,所以,解得,利用導(dǎo)數(shù)求得斜率為,故切線為;(2),將分成四類,討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)而求得最大值;(3)不妨設(shè),因?yàn)?/span>,所以,,要證明,即證明,令,即證,令(),利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值大于零即可.
試題解析:
(1)因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上,所以,解得.
因?yàn)?/span>,所以切線的斜率為0,
所以切線方程為.
(2)因?yàn)?/span>,
①當(dāng)時(shí), , ,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,則;
②當(dāng),即時(shí), , ,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,則;
③當(dāng),即時(shí),
函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
則;
④當(dāng),即時(shí), , ,
函數(shù)在上單調(diào)遞減,則.
綜上,當(dāng)時(shí), ;
當(dāng)時(shí), ;
當(dāng)時(shí), .
(3)不妨設(shè),
因?yàn)?/span>,
所以,,
可得, ,
要證明,即證明,也就是,
因?yàn)?/span>,
所以即證明,
即,
令,則,于是,
令(),
則,
故函數(shù)在上是增函數(shù),
所以,即成立,所以原不等式成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),橢圓的離心率為是橢圓的焦點(diǎn),直線的斜率為為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),當(dāng)的面積最大時(shí),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn),求的值;
(2)若在區(qū)間上存在極值點(diǎn),判斷該極值點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn),并求的取值范圍;
(3)若當(dāng)時(shí), 恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)某物體一天中的溫度是時(shí)間的函數(shù),已知,其中溫度的單位是,時(shí)間的單位是小時(shí),規(guī)定中午12:00相應(yīng)的,中午12:00以后相應(yīng)的取正數(shù),中午12:00以前相應(yīng)的取負(fù)數(shù)(例如早上8:00相應(yīng)的,下午16:00相應(yīng)的),若測(cè)得該物體在中午12:00的溫度為,在下午13:00的溫度為,且已知該物體的溫度在早上8:00與下午16:00有相同的變化率.
(1)求該物體的溫度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該物體在上午10:00至下午14:00這段時(shí)間中(包括端點(diǎn))何時(shí)溫度最高?最高溫度是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)某物體一天中的溫度是時(shí)間的函數(shù),已知,其中溫度的單位是,時(shí)間的單位是小時(shí),規(guī)定中午12:00相應(yīng)的,中午12:00以后相應(yīng)的取正數(shù),中午12:00以前相應(yīng)的取負(fù)數(shù)(例如早上8:00相應(yīng)的,下午16:00相應(yīng)的),若測(cè)得該物體在中午12:00的溫度為,在下午13:00的溫度為,且已知該物體的溫度在早上8:00與下午16:00有相同的變化率.
(1)求該物體的溫度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該物體在上午10:00至下午14:00這段時(shí)間中(包括端點(diǎn))何時(shí)溫度最高?最高溫度是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件,測(cè)量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值,由測(cè)量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖,質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的頻率之比為.
(1)求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的頻率;
(2)若將頻率視為概率,從該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件,記這3件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了降低能源消耗,某冷庫(kù)內(nèi)部要建造可供使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為4萬(wàn)元,又知該冷庫(kù)每年的能源消耗費(fèi)用(單位:萬(wàn)元)與隔熱層厚度(單位: )滿足關(guān)系,若不建隔熱層,每年能源消耗為8萬(wàn)元.設(shè)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和.
(1)求的值及的表達(dá)式;
(2)隔熱層修建多厚時(shí),總費(fèi)用達(dá)到最小?并求最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校后勤處為跟蹤調(diào)查該校餐廳的當(dāng)月的服務(wù)質(zhì)量,兌現(xiàn)獎(jiǎng)懲,從就餐的學(xué)生中隨機(jī)抽出100位學(xué)生對(duì)餐廳服務(wù)質(zhì)量打分(5分制),得到如下柱狀圖:
(1)從樣本中任意選取2名學(xué)生,求恰好有一名學(xué)生的打分不低于4分的概率;
(2)若以這100人打分的頻率作為概率,在該校隨機(jī)選取2名學(xué)生進(jìn)行打分(學(xué)生打分之間相互獨(dú)立)記表示兩人打分之和,求的分布列和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列程序運(yùn)行后,a,b,c的值各等于什么?
(1)_____________________________________________________________.
(2)_____________________________________________________________.
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