已知集合是正整數(shù)的一個排列,函數(shù)
 對于,定義:,,稱的滿意指數(shù).排列為排列的生成列.
(Ⅰ)當時,寫出排列的生成列;
(Ⅱ)證明:若中兩個不同排列,則它們的生成列也不同;
(Ⅲ)對于中的排列,進行如下操作:將排列從左至右第一個滿意指數(shù)為負數(shù)的項調(diào)至首項,其它各項順序不變,得到一個新的排列.證明:新的排列的各項滿意指數(shù)之和比原排列的各項滿意指數(shù)之和至少增加
(I);(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ)詳見解析.

試題分析:弄懂已知條件“對于,定義:,,稱的滿意指數(shù).”是解題的關(guān)鍵;把握第(I)問,由特殊到一般,才能順利求(II)(III).
試題解析:(Ⅰ)解:當時,排列的生成列為.             3分
(Ⅱ)證明:設的生成列是;的生成列是與
從右往左數(shù),設排列第一個不同的項為,即:,,
顯然 ,,,,下面證明:.          5分
由滿意指數(shù)的定義知,的滿意指數(shù)為排列中前項中比小的項的個數(shù)減去比大的項的個數(shù).由于排列的前項各不相同,設這項中有項比小,則有項比大,從而
同理,設排列中有項比小,則有項比大,從而
因為 個不同數(shù)的兩個不同排列,且,所以 , 從而 . 所以排列的生成列也不同.                     8分
(Ⅲ)證明:設排列的生成列為,且中從左至右第一個滿意指數(shù)為負數(shù)的項,所以 .                   9分
依題意進行操作,排列變?yōu)榕帕?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020948698780.png" style="vertical-align:middle;" />,設該排列的生成列為.                                                          10分
所以
     
所以,新排列的各項滿意指數(shù)之和比原排列的各項滿意指數(shù)之和至少增加.      13分
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