Question

（2013•安徽）某高校數(shù)學(xué)系計劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試活動，分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)，已知該系共有n位學(xué)生，每次活動均需該系k位學(xué)生參加（n和k都是固定的正整數(shù)），假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給該系k位學(xué)生，且所發(fā)信息都能收到，記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的學(xué)生人數(shù)為X．
（I）求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率；
（II）求使P（X=m）取得最大值的整數(shù)m．

Answer 1

分析：（I）由題設(shè)，兩位老師發(fā)送信息是獨(dú)立的，要計算該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率可先計算其對立事件，該生沒有接到任一位老師發(fā)送的信息的概率，利用概率的性質(zhì)求解；
（II）由題意，要先研究隨機(jī)變量X的取值范圍，由于k≤n故要分兩類k=n與k＜n進(jìn)行研究，k=n時易求，k＜n時，要研究出同時接受到兩位老師信息的人數(shù)，然后再研究事件所包含的基本事件數(shù)，表示出P（X=m），再根據(jù)其形式研究它取得最大值的整數(shù)m即可．

解答：解：（I）因?yàn)槭录嗀：“學(xué)生甲收到李老師所發(fā)信息”與事件B：“學(xué)生甲收到張老師所發(fā)信息”是相互獨(dú)立事件，所以

.

A

與

.

B

相互獨(dú)立，由于P（A）=P（B）=

C k-1 n-1

C k n

=

k

n

，故P（

.

A

）=P（

.

B

）=1-

k

n

，
因此學(xué)生甲收到活動信息的概率是1-（1-

k

n

）²=

2kn-k2

n2

（II）當(dāng)k=n時，m只能取n，此時有P（X=m）=P（X=n）=1
當(dāng)k＜n時，整數(shù)m滿足k≤m≤t，其中t是2k和m中的較小者，由于“李老師與張老師各自獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)送活動信息給k位”所包含的基本事件總數(shù)為（

C

k n

）²，當(dāng)X=m時，同時收到兩位老師所發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)為2k-m，僅收到李老師或張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)為m-k，由乘法原理知：事件{X=m}所包含的基本事件數(shù)為

C

k n

C

2k-m k

C

m-k n-k

=

C

k n

C

m-k k

C

m-k n-k

P（X=M）=

C k n C 2k-m k C m-k n-k

(C k n )2

=

C 2k-m k C m-k n-k

C k n

當(dāng)k≤m＜t時，P（X=M）＜P（X=M+1）?（m-k+1）2≤（n-m）（2k-m）?m≤2k-

(k+1)2

n+2

假如k≤2k-

(k+1)2

n+2

＜t成立，則當(dāng)（k+1）²能被n+2整除時，
k≤2k-

(k+1)2

n+2

＜2k+1-

(k+1)2

n+2

＜t，故P（X=M）在m=2k-

(k+1)2

n+2

和m=2k+1-

(k+1)2

n+2

處達(dá)到最大值；
當(dāng)（k+1）²不能被n+2整除時，P（X=M）在m=2k-[

(k+1)2

n+2

]處達(dá)到最大值（注：[x]表示不超過x的最大整數(shù)），
下面證明k≤2k-

(k+1)2

n+2

＜t
因?yàn)?≤k＜n，所以2k-

(k+1)2

n+2

-k=

kn-k2-1

n+2

≥

k(k+1)-k2-1

n+2

=

k-1

n+2

≥0
而2k-

(k+1)2

n+2

-n=-

(n-k+1)2

n+2

＜0，故2k-

(k+1)2

n+2

＜n，顯然2k-

(k+1)2

n+2

＜2k
因此k≤2k-

(k+1)2

n+2

＜t

點(diǎn)評：本題主要考查古典概率模型，計數(shù)原理，分類討論思想等基礎(chǔ)知識和基本技能，考查抽象的思想，邏輯推理能力，運(yùn)算求解能力，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析解決實(shí)際問題的能力，本題易因?yàn)閷忣}時不明白事件的情形而導(dǎo)致無法下手，或者因?yàn)榉诸惒磺逦茨苷�確分類導(dǎo)致失分