Question

過x軸上一點(diǎn)M（x，0）作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，若|AB|，，則x的取值范圍是（ ）
A．
B．[-2.2]
C．
D．（-∞，-2）∪[2，+∞）

Answer 1

【答案】分析：如圖，當(dāng)|AB|=時(shí)，M在y軸左側(cè)，當(dāng)M往右運(yùn)動(dòng)時(shí)，|AB|長變小，往左運(yùn)動(dòng)時(shí)，|AB|長變大，M在y軸右側(cè)，剛好相反，故連接CA，CB，MC，由MA及MB為圓C的切線，根據(jù)切線性質(zhì)得到CA與AM垂直，CB與BM垂直，由圓C的方程找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，可得到|AC|的長，利用HL證明三角形ACM與三角形BCM全等，再利用三線合一得到CN與AB垂直，N為AB中點(diǎn)，可求出|AN|的長，又直角三角形ACN與直角三角形ACM相似，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例可求出|CM|的長，在直角三角形COM中，利用勾股定理求出|OM|的長，可得出此時(shí)M的坐標(biāo)，根據(jù)分析的規(guī)律，即可得到滿足題意的x的取值范圍．
解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

若M在y軸左邊，過M作圓C的兩條切線MA與MB，切點(diǎn)分別為A和B，
連接CA，CB，CM，∴CA⊥AM，CB⊥BM，
在Rt△ACM與Rt△BCM中，
MC=MC，CA=CB，
∴Rt△ACM≌Rt△BCM（HL），
∴∠ACM=∠BCM，又CA=CB，
∴CN⊥AB，AN=BN，
當(dāng)|AB|=時(shí)，由圓C的方程，得到圓心C（0，），半徑|CA|=|CB|=1，
在Rt△ANC中，由|AC|=1，|AN|=|AB|=，
根據(jù)勾股定理得：|CN|=，
又Rt△ACN∽R(shí)t△MAC，
∴|AC|²=|CN|•|CM|，∴|CM|=2，
在Rt△OCM中，|OC|=，|CM|=2，
根據(jù)勾股定理可得：|OM|=；
若M在y軸右邊，同理可得|OM|=，
則x的取值范圍是．
故選C
點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：切線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，其中根據(jù)題意得出當(dāng)|AB|=時(shí)，M在y軸左側(cè)，當(dāng)M往右運(yùn)動(dòng)時(shí)，|AB|長變小，往左運(yùn)動(dòng)時(shí)，|AB|長變大，M在y軸右側(cè)，剛好相反是解本題的關(guān)鍵．